Что такое обратная замена. Интегрирование методом замены переменной
Урок и презентация на тему: "Метод замены переменной. Примеры"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
1С: Школа. Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве для 10–11 классов
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Этот метод довольно часто встречается при решении уравнений, и мы с вами им не раз пользовались.Его можно использовать в следующих случаях:
- Если исходное уравнение $f(x)=0$ имеет сложный вид, но его удалось преобразовать к уравнению вида $h(g(x))=0$.
- Нужно произвести замену переменных $u=g(x)$.
- Решить уравнение $h(u)=0$, найти корни $u_1$, $u_2$, … $u_n$.
- Ввести обратную замену $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$.
- Решить каждое из уравнений $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$. Корни каждого из уравнений и будут решениями исходного уравнения.
Пример.
Решить уравнение: $8x^6+7x^3-1=0$.
Решение.
Введем замену $y=x^3$. Тогда наше уравнение сводится к квадратному уравнению:
$8y^2+7y-1=0$,
$(8y-1)(y+1)=0$,
$y_1=\frac{1}{8}$ и $y_2=-1$.
На данном этапе при решении более сложных уравнений следует проверить полученные корни.
Введем обратную замену: $x^3=\frac{1}{8}$ и $x^3=-1$.
Корни данных уравнений найти легко: $x_1=\frac{1}{2}$ и $x_2=-1$.
Ответ: $х=0,5$ и $х=-1$.
Пример.
Решить уравнение: $\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}+4\sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}}=4$.
Решение.
Проведем равносильные преобразования:
$\sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}}=(\frac{2x-1}{2x+3})^{\frac{1}{2}}=(\frac{2x+3}{2x-1})^{-\frac{1}{2}}=((\frac{2x+3}{2x-1})^{\frac{1}{2}})^{-1}=\frac{1}{\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}}$.
Введем замену: $u=\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}$, тогда наше уравнение сводится к $u+\frac{4}{u}=4$. $u^2-4u+4=0$, откуда $u=2$.
Введем обратную замену: $\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}=2$.
$2x+3=4(2x-1)$, решив линейное уравнение $х=1\frac{1}{6}$.
Пример.
Решить уравнение: $2^x+2^{1-x}=3$.
Решение.
Наше уравнение сводится к равносильному уравнению: $2^x+\frac{2}{2^x}=3$.
Введем замену: $t=2^x$.
$t+\frac{2}{t}=3$,
$t^2-3t+2=0$,
$(t-2)(t-1)=0$,
$t_1=2$ и $t_2=1$.
Введем обратную замену: $2^x=2$ и $2^x=1$. Откуда: $х=1$ и $х=0$.
Ответ: $х=1$ и $х=0$.
Пример.
Решить уравнение: $lg^2(x^2)+lg(10x)-6=0$.
Решение.
Преобразуем наше уравнение.
$lg^2(x^2)=(lg(x^2))^2=(2lg(x))^2=4lg^2x$.
$lg(10x)=lg10+lgx=1+lgx$.
Исходное уравнение равносильно уравнению: $4lg^2x+lgx-5=0$.
Введем замену: $u=lg(x)$.
$4u^2+u-5=0$,
$(4u+5)(u-1)=0$.
Введем обратную замену: $lgx=-1,25$ и $lgx=1$.
Ответ: $x=10^{-\frac{5}{4}}$ и $x=10$.
Пример.
Решить уравнение: $sin(x)cos(x)-6sin(x)+6cos(x)+6=0$.
Решение.
Введем замену: $cos(x)-sin(x)=y$.
Тогда: $(cos(x)-sin(x))^2=1-2sin(x)cos(x)$.
$sin(x)cos(x)=\frac{1-y^2}{2}$.
Исходное уравнение равносильно:
$\frac{1-y^2}{2}+6y+6=0$,
$1-y^2+12y+12=0$,
$y^2-12y-13=0$,
$(y-13)(y+1)=0$.
Введем обратную замену: $cos(x)-sin(x)=13$ - очевидно, что решений нет, так как косинус и синус ограничены по модулю единицей.
$cos(x)-sin(x)=-1$ - умножим обе части уравнения на $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\frac{\sqrt{2}}{2}cos(x)-\frac{\sqrt{2}}{2}sin(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$sin(\frac{π}{4}-x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\begin {cases} \frac{π}{4}-x=-\frac{π}{4}+2πn, \\ \frac{π}{4}-x=-\frac{3π}{4}+2πn. \end {cases}$
$\begin {cases} x=\frac{π}{2}+2πn, \\ x=π+2πn. \end {cases}$
Ответ: $x=\frac{π}{2}+2πn$ и $π+2πn$.
Задачи для самостоятельного решения
Решить следующие уравнения:1. $x^8+3x^4-4=0$.
2. $\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}+5\sqrt{\frac{x+3}{5x-1}}=6$.
3. $5^x+5^{2x+1}=-4$.
4. $2cos^2(x)-7cos-4=0$.
5. $5sin(2x)-11sin(x)=11cos(x)-7$.
Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула преобразования дифференциалов. Примеры интегрирования. Примеры линейных подстановок.
Метод замены переменной
С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.
Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x(t) , или t = t(x) . Например, x = ln t , x = sin t , t = 2 x + 1 , и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.
Основная формула замены переменной
Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f(x) и дифференциала dx : . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x(t) . Тогда мы должны выразить функцию f(x) и дифференциал dx через переменную t .
Чтобы выразить подынтегральную функцию f(x) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x(t) .
Преобразование дифференциала выполняется так:
.
То есть дифференциал dx
равен произведению производной x
по t
на дифференциал dt
.
Тогда
.
На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t(x)
.
Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где t′(x)
- это производная t
по x
,
то
.
Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1)
,
где x
- это функция от t
.
(2)
,
где t
- это функция от x
.
Важное замечание
В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое либо выражение.
В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
.
Здесь x
можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
;
;
.
В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x
,
дифференциал преобразуется следующим образом:
.
Тогда
.
В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
.
После чего интеграл сводится к табличному.
.
Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2)
. Положим t = x 2
+ x
.
Тогда
;
;
.
Примеры интегрирования заменой переменной
1)
Вычислим интеграл
.
Замечаем, что (sin
x)′ = cos
x
.
Тогда
.
Здесь мы применили подстановку t = sin
x
.
2)
Вычислим интеграл
.
Замечаем, что .
Тогда
.
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg
x
.
3)
Проинтегрируем
.
Замечаем, что .
Тогда
.
Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x 2 + 1
.
Линейные подстановки
Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b
,
где a
и b
- постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
.
Примеры интегрирования линейными подстановками
A)
Вычислить интеграл
.
Решение.
.
B)
Найти интеграл
.
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции .
.
ln 2
- это постоянная. Вычисляем интеграл.
.
C)
Вычислить интеграл
.
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
.
Вычисляем интеграл.
.
D)
Найти интеграл
.
Решение.
Преобразуем многочлен под корнем.
.
Интегрируем, применяя метод замены переменной .
.
Ранее мы получили формулу
.
Отсюда
.
Подставив это выражение, получим окончательный ответ.
Математика – это скважина, через которую логический ум может подглядывать за идеальным миром.
Кротов Виктор
В школе ведущее место в курсе алгебры занимают рациональные уравнения. Именно на их изучение времени отводится больше, чем на любые другие темы. Связано это в первую очередь с тем, что уравнения имеют не только важное теоретическое значение, но и служат многим практическим целям. Огромное количество задач реального мира сводятся именно к решению различных уравнений, и только после того, как вы овладеете способами их решения, вы найдете ответы на различные вопросы науки и техники.
Для формирования умения решать рациональные уравнения самостоятельная работа ученика имеет огромное значение. Однако перед тем как переходить именно к самостоятельной работе, необходимо четко знать и уметь применять на практике все возможные методы решения рациональных уравнений.
Рассмотрим подробно на примерах метод замены переменных для решения рациональных уравнений.
Пример 1.
Решить уравнение (2x 2 – 3x + 1) 2 = 22x 2 – 33x + 1.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
(2x 2 – 3x + 1) 2 = 11(2x 2 – 3x) + 1. Сделаем замену. Пусть 2x 2 – 3x = t, тогда уравнение примет вид:
(t + 1) 2 = 11t + 1.
Теперь раскроем скобки и приведем подобные, получим:
t 2 + 2t + 1 = 11t + 1;
В получившемся неполном квадратном уравнении вынесем общий множитель за скобки, будем иметь:
t = 0 или t = 9.
Теперь необходимо сделать обратную замену и решить каждое из полученных уравнений:
2x 2 – 3x = 0 или 2x 2 – 3x = 9
x(2x – 3) = 0 2x 2 – 3x – 9 = 0
x = 0 или x = 3/2 x = 3 или x = -3/2
Ответ: -1,5; 0; 1,5; 3.
Пример 2.
Решить уравнение (x 2 – 6x) 2 – 2(x – 3) 2 = 81.
Решение.
Применим формулу квадрата разности (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 . Запишем исходное уравнение в виде
(x 2 – 6x) 2 – 2(x 2 – 6x + 9) = 81. Теперь можно сделать замену.
Пусть x 2 – 6x = t, тогда уравнение будет иметь вид:
t 2 – 2(t + 9) = 81.
t 2 – 2t – 18 – 81 = 0;
t 2 – 2t – 99 = 0.
По теореме Виета корнями полученного уравнения будут числа -9 и 11.
Сделаем обратную замену:
x 2 – 6x = -9 или x 2 – 6x = 11
x 2 – 6x + 9 = 0 x 2 – 6x – 11 = 0
(x – 3) 2 = 0 D = 80
x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 = 3 – 2√5.
Ответ: 3 – 2√5; 3; 3 + 2√5.
Пример 3.
Решить уравнение (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 и найти произведение его корней.
Решение.
Найдем «выгодный» способ группировки множителей и раскроем пары скобок:
((x – 1)(x + 5))((x – 3)(x + 7)) = 297;
(x 2 + 5x – x – 5)(x 2 + 7x – 3x – 21) = 297;
(x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – 21) = 297.
Cделаем замену x 2 + 4x = t, тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:
(t – 5)(t – 21) = 297.
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:
t 2 – 21t – 5t + 105 = 297;
t 2 – 26t – 192 = 0.
По теореме Виета определяем, что корнями полученного уравнения будут числа -6 и 32.
После обратной замены будем иметь:
x 2 + 4x = -6 или x 2 + 4x = 32
x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x – 32 = 0
D = 16 – 24 < 0 D = 16 + 128 > 0
Нет корней x 1 = -8; x 2 = 4
Найдем произведение корней: -8 · 4 = -32.
Ответ: -32.
Пример 4.
Найти сумму корней уравнения (x 2 – 2x + 2) 2 + 3x(x 2 – 2x + 2) = 10x 2 .
Решение.
Пусть x 2 – 2x + 2 = t, тогда уравнение примет вид:
t 2 + 3xt – 10x 2 = 0.
Рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно t.
D = (3x) 2 – 4 · (-10x 2) = 9x 2 + 40x 2 = 49x 2 ; ≥≤
t 1 = (-3x – 7x) / 2 и t 2 = (-3x + 7x) / 2;
t 1 = -5x и t 2 = 2x.
Так как t = x 2 – 2x + 2, то
x 2 – 2x + 2 = -5x или x 2 – 2x + 2 = 2x. Решим каждое из полученных уравнений.
x 2 + 3x + 2 = 0 или x 2 – 4x + 2 = 0.
Оба уравнения имеют корни, т.к. D > 0.
С помощью теоремы Виета можно сделать вывод, что сумма корней первого уравнения равна -3, а второго уравнения 4. Получаем, что сумма корней исходного уравнения равна -3 + 4 = 1
Ответ: 1.
Пример 5.
Найти корень уравнения (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, принадлежащий промежутку [-5; 10].
Решение.
Пусть x = t – 3, тогда x + 1 = t – 2; x + 5 = t + 2 и исходное уравнение принимает вид:
(t – 2) 4 + (t + 2) 4 = 32. Для возведения выражений в четвертую степень можно воспользоваться треугольником Паскаля (рис. 1);
(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 · 2 + 6t 2 · 2 2 – 4t · 2 3 + 2 4 ;
(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 · 2 + 6t 2 · 2 2 + 4t · 2 3 + 2 4 .
После приведения подобных слагаемых получим:
2t 4 – 2 · 6t 2 · 2 2 + 2 · 2 4 = 32;
t 4 + 6t 2 · 2 2 + 2 4 = 16;
t 4 + 24t 2 + 16 = 16;
t 4 + 24t 2 = 0;
t 2 (t 2 + 24) = 0;
t = 0 или t 2 = -24.
Второе уравнение не имеет корней, а значит t = 0 и после обратной замены
x = t – 3 = 0 – 3 = -3. Корень уравнения -3 принадлежит промежутку [-5; 10].
Ответ: -3.
Как видим, при решении рациональных уравнений необходимо знать приведенные выше формулы и уметь правильно считать. Ошибки же чаще всего возникают при выборе замены и при обратной подстановке. Чтобы этого избежать, нужно расписывать подробно каждое действие, тогда ошибок в ваших решениях не будет.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Математика – это скважина, через которую логический ум может подглядывать за идеальным миром.
Кротов Виктор
В школе ведущее место в курсе алгебры занимают рациональные уравнения. Именно на их изучение времени отводится больше, чем на любые другие темы. Связано это в первую очередь с тем, что уравнения имеют не только важное теоретическое значение, но и служат многим практическим целям. Огромное количество задач реального мира сводятся именно к решению различных уравнений, и только после того, как вы овладеете способами их решения, вы найдете ответы на различные вопросы науки и техники.
Для формирования умения решать рациональные уравнения самостоятельная работа ученика имеет огромное значение. Однако перед тем как переходить именно к самостоятельной работе, необходимо четко знать и уметь применять на практике все возможные методы решения рациональных уравнений.
Рассмотрим подробно на примерах метод замены переменных для решения рациональных уравнений.
Пример 1.
Решить уравнение (2x 2 – 3x + 1) 2 = 22x 2 – 33x + 1.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
(2x 2 – 3x + 1) 2 = 11(2x 2 – 3x) + 1. Сделаем замену. Пусть 2x 2 – 3x = t, тогда уравнение примет вид:
(t + 1) 2 = 11t + 1.
Теперь раскроем скобки и приведем подобные, получим:
t 2 + 2t + 1 = 11t + 1;
В получившемся неполном квадратном уравнении вынесем общий множитель за скобки, будем иметь:
t = 0 или t = 9.
Теперь необходимо сделать обратную замену и решить каждое из полученных уравнений:
2x 2 – 3x = 0 или 2x 2 – 3x = 9
x(2x – 3) = 0 2x 2 – 3x – 9 = 0
x = 0 или x = 3/2 x = 3 или x = -3/2
Ответ: -1,5; 0; 1,5; 3.
Пример 2.
Решить уравнение (x 2 – 6x) 2 – 2(x – 3) 2 = 81.
Решение.
Применим формулу квадрата разности (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 . Запишем исходное уравнение в виде
(x 2 – 6x) 2 – 2(x 2 – 6x + 9) = 81. Теперь можно сделать замену.
Пусть x 2 – 6x = t, тогда уравнение будет иметь вид:
t 2 – 2(t + 9) = 81.
t 2 – 2t – 18 – 81 = 0;
t 2 – 2t – 99 = 0.
По теореме Виета корнями полученного уравнения будут числа -9 и 11.
Сделаем обратную замену:
x 2 – 6x = -9 или x 2 – 6x = 11
x 2 – 6x + 9 = 0 x 2 – 6x – 11 = 0
(x – 3) 2 = 0 D = 80
x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 = 3 – 2√5.
Ответ: 3 – 2√5; 3; 3 + 2√5.
Пример 3.
Решить уравнение (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 и найти произведение его корней.
Решение.
Найдем «выгодный» способ группировки множителей и раскроем пары скобок:
((x – 1)(x + 5))((x – 3)(x + 7)) = 297;
(x 2 + 5x – x – 5)(x 2 + 7x – 3x – 21) = 297;
(x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – 21) = 297.
Cделаем замену x 2 + 4x = t, тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:
(t – 5)(t – 21) = 297.
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:
t 2 – 21t – 5t + 105 = 297;
t 2 – 26t – 192 = 0.
По теореме Виета определяем, что корнями полученного уравнения будут числа -6 и 32.
После обратной замены будем иметь:
x 2 + 4x = -6 или x 2 + 4x = 32
x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x – 32 = 0
D = 16 – 24 < 0 D = 16 + 128 > 0
Нет корней x 1 = -8; x 2 = 4
Найдем произведение корней: -8 · 4 = -32.
Ответ: -32.
Пример 4.
Найти сумму корней уравнения (x 2 – 2x + 2) 2 + 3x(x 2 – 2x + 2) = 10x 2 .
Решение.
Пусть x 2 – 2x + 2 = t, тогда уравнение примет вид:
t 2 + 3xt – 10x 2 = 0.
Рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно t.
D = (3x) 2 – 4 · (-10x 2) = 9x 2 + 40x 2 = 49x 2 ; ≥≤
t 1 = (-3x – 7x) / 2 и t 2 = (-3x + 7x) / 2;
t 1 = -5x и t 2 = 2x.
Так как t = x 2 – 2x + 2, то
x 2 – 2x + 2 = -5x или x 2 – 2x + 2 = 2x. Решим каждое из полученных уравнений.
x 2 + 3x + 2 = 0 или x 2 – 4x + 2 = 0.
Оба уравнения имеют корни, т.к. D > 0.
С помощью теоремы Виета можно сделать вывод, что сумма корней первого уравнения равна -3, а второго уравнения 4. Получаем, что сумма корней исходного уравнения равна -3 + 4 = 1
Ответ: 1.
Пример 5.
Найти корень уравнения (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, принадлежащий промежутку [-5; 10].
Решение.
Пусть x = t – 3, тогда x + 1 = t – 2; x + 5 = t + 2 и исходное уравнение принимает вид:
(t – 2) 4 + (t + 2) 4 = 32. Для возведения выражений в четвертую степень можно воспользоваться треугольником Паскаля (рис. 1);
(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 · 2 + 6t 2 · 2 2 – 4t · 2 3 + 2 4 ;
(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 · 2 + 6t 2 · 2 2 + 4t · 2 3 + 2 4 .
После приведения подобных слагаемых получим:
2t 4 – 2 · 6t 2 · 2 2 + 2 · 2 4 = 32;
t 4 + 6t 2 · 2 2 + 2 4 = 16;
t 4 + 24t 2 + 16 = 16;
t 4 + 24t 2 = 0;
t 2 (t 2 + 24) = 0;
t = 0 или t 2 = -24.
Второе уравнение не имеет корней, а значит t = 0 и после обратной замены
x = t – 3 = 0 – 3 = -3. Корень уравнения -3 принадлежит промежутку [-5; 10].
Ответ: -3.
Как видим, при решении рациональных уравнений необходимо знать приведенные выше формулы и уметь правильно считать. Ошибки же чаще всего возникают при выборе замены и при обратной подстановке. Чтобы этого избежать, нужно расписывать подробно каждое действие, тогда ошибок в ваших решениях не будет.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Введение
Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это всё так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.
В элементарной математике выделяют два вида уравнений:алгебраические и трансцендентные.К алгебраическим уравнениям относятся:
линейное;
квадратное;
кубическое;
биквадратное;
уравнение четвертой степени общего вида;
двучленное алгебраическое уравнение n-й степени;
степенное алгебраическое;
– возвратное (алгебраическое);
– алгебраическое уравнение ой степени общего вида;
10. дробные алгебраические уравнения, т.е. уравнения, содержащие многочлены и алгебраические дроби (дроби вида
, где и – многочлены);11. иррациональные уравнения, т.е. уравнения, содержащие радикалы, под которыми располагаются многочлены и алгебраические дроби;
12. уравнения, содержащие модуль, под модулем которых содержатся многочлены и алгебраические дроби.
Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. В нашей работе рассмотрим подробнее алгебраические уравнения.
В учебной и методической литературе традиционно рассматриваются специальные приёмы решения уравнений. Между тем специфика решения уравнений каждого раздела – дело второстепенное. По существу, применяются четыре основных метода:
Замена уравнения h (f(x))=h (g(x)) уравнением f(x)=g(x);
Метод замены переменной;
Метод разложения на множители;
Функционально-графический метод и их различные модификации.
Самый распространённый из них – метод замены переменной.
Исходя из этого, мы формулируем цель своей работы: изучить возможности метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений и продемонстрировать их применение в стандартных и нестандартных ситуациях. Для того, чтобы достичь поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Раскрыть содержание основных понятий и утверждений, относящихся к теории решения уравнений: решение уравнения, равносильность и следствие, общие методы решения уравнений.
2. Выявить возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ситуациях.
3. Осуществить типизацию приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений и выявить критерии их применимости
4. Составить комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений, и продемонстрировать их решение.
1. Основные понятия и утверждения, относящиеся к теории решения уравнений
В первой главе нашей работы раскроем содержание основных понятий и утверждений, относящихся к теории решения уравнений.
С понятием «уравнение» на уроках математики мы знакомимся уже в начальной школе, а задача «решить уравнение», вероятно, наиболее часто встречающаяся задача. Тем не менее дать точное определение понятия «уравнение», точно определить, что значит «решить уравнение», не выходя далеко за рамки курса элементарной математики, мы не можем. Для этого необходимо привлекать весьма серьёзные логические и даже философские категории. Нам вполне достаточно знакомства с этими понятиями на уровне «здравого смысла».
Рассмотрим два уравнения А и В с одним и тем же неизвестным. Мы будем говорить, что уравнение В является следствием уравнения А, если любой корень уравнения А является корнем уравнения В.
Уравнения называются равносильными, если любой корень одного из них является корнем другого и наоборот. Таким образом, уравнения равносильны, если каждое из них является следствием другого.
Из данных определений следует, например, что два уравнения, не имеющие решений, равносильны. Если А не имеет решений, то В является следствием А, каково бы ни было уравнение В.
Определим понятие «решить уравнение». Решить уравнение – значит найти все такие значения входящих в него неизвестных, которые обращают уравнение в тождество. Эти значения называются корнями уравнения.
Процесс решения уравнений заключается в основном в замене данного уравнения другим, ему равносильным.
Как было ранее сказано, выделяют четыре наиболее общих метода, используемых при решении уравнений любых видов. Остановимся подробнее на каждом методе.
Метод замены уравнения h (f(x))=h (g(x)) уравнением f(x)=g(x) можно применять только в том случае, когда
- монотонная функция, которая каждое своё значение принимает по одному разу. Если данная функция немонотонная, то указанный метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корней.Суть метода разложения на множители заключается в следующем: уравнение
можно заменить:
Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.Идея графического метода решения уравнения
такова: нужно построить графики функций , и найти точки их пересечения. Корнями уравнения служат абсциссы этих точек. Этот метод позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближённые, а иногда и точные значения корней. В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить ссылкой на какие-либо свойства функций (потому-то мы говорим не о графическом, а о функционально-графическом методе решения уравнений). Если, например, одна из функций
возрастает, а другая – убывает, то уравнение либо не имеет корней, либо имеет один корень.Упомянем ещё одну довольно красивую разновидность функционально-графического метода: если на промежутке наибольшее значение одной из функций , равно и наименьшее значение другой функции тоже равно , то уравнение равносильно на промежутке системе уравнений.
Раскроем суть метода замены переменной: если уравнение
