Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Р. К. Бельхеева РЯДЫ ФУРЬЕ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Учебное пособие Новосибирск 211

2 УДК ББК В161 Б44 Б44 Бельхеева Р. К. Ряды Фурье в примерах и задачах: Учебное пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, с. ISBN В учебном пособии излагаются основные сведения о рядах Фурье, приведены примеры на каждую изучаемую тему. Детально разобран пример применения метода Фурье к решению задачи о поперечных колебаниях струны. Приведен иллюстративный материал. Имеются задачи для самостоятельного решения. Предназначено для студентов и преподавателей физического факультета НГУ. Печатается по решению методической комиссии физического факультета НГУ. Рецензент д-р физ.-мат. наук. В. А. Александров Пособие подготовлено в рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на гг. ISBN c Новосибирский государственный университет, 211 c Бельхеева Р. К., 211

3 1. Разложение 2π-периодической функции в ряд Фурье Определение. Рядом Фурье функции f(x) называется функциональный ряд a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) где коэффициенты a n, b n вычисляются по формулам: a n = 1 π b n = 1 π f(x) cosnxdx, n =, 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Формулы (2) (3) называют формулами Эйлера Фурье. Тот факт, что функции f(x) соответствует ряд Фурье (1) записывают в виде формулы f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) и говорят, что правая часть формулы (4) является формальным рядом Фурье функции f(x). Другими словами, формула (4) означает только то, что коэффициенты a n, b n найдены по формулам (2), (3). 3

4 Определение. 2π-периодическая функция f(x) называется кусочно-гладкой, если в промежутке [, π] найдется конечное число точек = x < x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Рис. 1. График функции f(x) Вычислим коэффициенты Фурье a = 1 π f(x) dx = 1 π x 2 2 π = π, a n = 1 π f(x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, при n нечетном, при n четном, f(x) sin nxdx =, потому что функция f(x) четная. Запишем формальный ряд Фурье для функции f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 Выясним является ли функция f(x) кусочно-гладкой. Так как она непрерывна, вычислим только пределы (6) в конечных точках промежутка x = ±π и в точке излома x = : и f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1, f(h) f() h () lim = lim = 1. h + h h + h Пределы существуют и конечны, следовательно, функция кусочно-гладкая. По теореме о поточечной сходимости ее ряд Фурье сходится к числу f(x) в каждой точке, т. е. f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) На рис. 2, 3 показан характер приближения частичных сумм ряда Фурье S n (x), где S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1 к функции f(x) в промежутке [, π]. 6

7 Рис. 2. График функции f(x) с наложенными на него графиками частичных сумм S (x) = a 2 и S 1(x) = a 2 + a 1 cos x Рис. 3. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Подставив в (7) x = получим: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, откуда мы находим сумму числового ряда: = π2 8. Зная сумму этого ряда, легко найти следующую сумму Имеем: S = () S = ()= π S, следовательно S = π2 6, то есть 1 n = π Сумму этого знаменитого ряда впервые нашел Леонард Эйлер. Она часто встречается в математическом анализе и его приложениях. ПРИМЕР 2. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции заданной формулой f(x) = x для x < π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Рис. 4. График функции f(x) Функция f(x) непрерывно-дифференцируема на промежутке (, π). В точках x = ±π, она имеет конечные пределы (5): f() =, f(π) = π. Кроме того существуют конечные пределы (6): f(+ h) f(+) lim = 1 и h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Значит, f(x) кусочно-гладкая функция. Так как функция f(x) нечетна, то a n =. Коэффициенты b n находим интегрированием по частям: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1)n+1. n Составим формальный ряд Фурье функции 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 cosnxdx ] =

10 Согласно теореме о поточечной сходимости кусочно-гладкой 2π-периодической функции ряд Фурье функции f(x) сходится к сумме: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x, если π < x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Рис. 6. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 2 (x) Рис. 7. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 3 (x) 11

12 Рис. 8. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 99 (x) Используем полученный ряд Фурье для нахождения сумм двух числовых рядов. Положим в (8) x = π/2. Тогда 2 () +... = π 2, или = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Мы легко нашли сумму известного ряда Лейбница. Положив в (8) x = π/3, найдем () +... = π 2 3, или (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 ПРИМЕР 3. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции f(x) = sin x, предполагая, что она имеет период 2π, и 1 вычислим сумму числового ряда 4n 2 1. Решение. График функции f(x) приведен на рис. 9. Очевидно, f(x) = sin x непрерывная четная функция с периодом π. Но 2π тоже является периодом функции f(x). Рис. 9. График функции f(x) Вычислим коэффициенты Фурье. Все b n = потому, что функция четная. Пользуясь тригонометрическими формулами вычислим a n при n 1: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos(1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 { 4 1, если n = 2k, = π n 2 1, если n = 2k

14 Это вычисление не позволяет нам найти коэффициент a 1, потому что при n = 1 знаменатель обращается в ноль. Поэтому вычислим коэффициент a 1 непосредственно: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Так как f(x) непрерывно дифференцируема на (,) и (, π) и в точках kπ, (k целое число), существуют конечные пределы (5) и (6), то ряд Фурье функции сходится к ней в каждой точке: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x На рис показан характер приближения функции f(x) частичными суммами ряда Фурье.. (9) Рис. 1. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S (x) 14

15 Рис. 11. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) Рис. 12. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 2 (x) Рис. 13. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 99 (x) 15

16 1 Вычислим сумму числового ряда. Для этого 4n 2 1 положим в (9) x =. Тогда cosnx = 1 для всех n = 1, 2,... и Следовательно, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. ПРИМЕР 4. Докажем, что если кусочно-гладкая непрерывная функция f(x) удовлетворяет условию f(x π) = f(x) для всех x (т. е. является π-периодической), то a 2n 1 = b 2n 1 = для всех n 1, и наоборот, если a 2n 1 = b 2n 1 = для всех n 1, то f(x) π-периодическая. Решение. Пусть функция f(x) является π-периодической. Вычислим ее коэффициенты Фурье a 2n 1 и b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) cos(2n 1)xdx. В первом интеграле сделаем замену переменной x = t π : f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 Пользуясь тем, что cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t и f(t π) = f(t), получим: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos(2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Аналогично доказывается, что b 2n 1 =. Наоборот, пусть a 2n 1 = b 2n 1 =. Так как функция f(x) непрерывна, то по теореме о представимости функции в точке своим рядом Фурье имеем Тогда f(x π) = = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), что и означает, что f(x) является π-периодической функцией. ПРИМЕР 5. Докажем, что если кусочно-гладкая функция f(x) удовлетворяет условию f(x) = f(x) для всех x, то a = и a 2n = b 2n = для всех n 1, и наоборот, если a = a 2n = b 2n =, то f(x π) = f(x) для всех x. Решение. Пусть функция f(x) удовлетворяет условию f(x π) = f(x). Вычислим ее коэффициенты Фурье: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. В первом интеграле сделаем замену переменной x = t π. Тогда f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Пользуясь тем, что cos n(t π) = (1) n cosnt и f(t π) = f(t), получим: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt =, если n четное, = 2 π f(t) cos nt dt, если n нечетное. π Аналогично доказывается, что b 2n =. Наоборот, пусть a = a 2n = b 2n =, для всех n 1. Так как функция f(x) непрерывна, то по теореме о представимости функция в точке своим рядом Фурье справедливо равенство f(x) = (a 2n 1 cos (2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). 18

19 Тогда = f(x π) = = = f(x). ПРИМЕР 6. Изучим как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: a 2n 1 cos(2n 1)x. (1) Решение. Пусть график функции имеет вид, приведенный на рис. 14. Поскольку в ряде (1) a = a 2n = b 2n = для всех n, то из примера 5 следует, что функция f(x) должна удовлетворять равенству f(x π) = f(x) для всех x. Это наблюдение дает способ продолжения функции f(x) на промежуток [, /2] : f(x) = f(x+π), рис. 15. Из того, что ряд (1) содержит только косинусы, заключаем, что продолженная функция f(x) должна быть четной (т. е. ее график должен быть симметричен относительно оси Oy), рис

20 Рис. 14. График функции f(x) Рис. 15. График продолжения функции f(x) на промежуток [, /2] 2

21 Итак, искомая функция имеет вид, приведенный на рис. 16. Рис. 16. График продолжения функции f(x) на промежуток [, π] Подводя итог, заключаем что функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), то есть на промежутке [π/2, π], график функции f(x) центрально симметричен относительно точки (π/2,), а на промежутке [, π] ее график симметричен относительно оси Oy. 21

22 ОБОБЩЕНИЕ ПРИМЕРОВ 3 6 Пусть l >. Рассмотрим два условия: а) f(l x) = f(x); б) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. С геометрической точки зрения условие (а) означает, что график функции f(x) симметричен относительно вертикальной прямой x = l/2, а условие (б) что график f(x) центрально симметричен относительно точки (l/2;) на оси абсцисс. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если функция f(x) четная и выполнено условие (а), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 =... = ; 2) если функция f(x) четная и выполнено условие (б), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (а), то a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (б), то a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. ЗАДАЧИ В задачах 1 7 нарисуйте графики и найдите ряды Фурье для функций, { предполагая, что они имеют период 2π:, если < x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 { 1, если /2 < x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Разложение функции, заданной в промежутке [, π], только по синусам или только по косинусам Пусть функция f задана в промежутке [, π]. Желая разложить ее в этом промежутке в ряд Фурье, мы сначала продолжим f в промежуток [, π] произвольным образом, а затем воспользуемся формулами Эйлера Фурье. Произвол в продолжении функции приводит к тому, что для одной и той же функции f: [, π] R мы можем получать различные ряды Фурье. Но можно использовать этот произвол так, чтобы получить разложение только по синусам или только по косинусам: в первом случае достаточно продолжить f нечетным образом, а во-втором четным. Алгоритм решения 1. Продолжить функцию нечетным (четным) образом на (,), а затем периодически с периодом 2π продолжить функцию на всю ось. 2. Вычислить коэффициенты Фурье. 3. Составить ряд Фурье функции f(x). 4. Проверить условия сходимости ряда. 5. Указать функцию, к которой будет сходиться этот ряд. ПРИМЕР 7. Разложим функцию f(x) = cosx, < x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Рис. 17. График продолженной функции Очевидно, что функция f (x) кусочно-гладкая. Вычислим коэффициенты Фурье: a n = для всех n потому, что функция f (x) нечетна. Если n 1, то b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, если n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1)(n 1) 2 2n, если n = 2k. π n 2 1 При n = 1 в предыдущих вычислениях знаменатель обращается в ноль, поэтому коэффициент b 1 вычислим непосред- 25

26 ственно: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Составим ряд Фурье функции f (x) : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Поскольку функция f (x) кусочно-гладкая, то по теореме о поточечной сходимости ряд Фурье функции f (x) сходится к сумме: cosx, если π < x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Рис. 18. График функции f (x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) Рис. 19. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 2 (x) 27

28 Рис. 2. График функции f (x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 3 (x) На рис. 21 приведены графики функции f (x) и ее частичной суммы S 99 (x). Рис. 21. График функции f (x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 99 (x) 28

29 ПРИМЕР 8. Разложим функцию f(x) = e ax, a >, x [, π], в ряд Фурье только по косинусам. Решение. Продолжим функцию четным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю числовую ось. Получим функцию f (x), график которой представлен на рис. 22. Функция f (x) в точках Рис. 22. График продолженной функции f (x) x = kπ, k целое число, имеет изломы. Вычислим коэффициенты Фурье: b n =, так как f (x) четная. Интегрируя по частям получаем 29

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxdx = 2 π a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Следовательно, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Поскольку f (x) непрерывна, то согласно теореме о поточечной сходимости ее ряд Фурье сходится к f (x). Значит, для всех x [, π] имеем f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм ряда Фурье к заданной разрывной функции. 3

31 Рис. 23. Графики функций f (x) и S (x) Рис. 24. Графики функций f (x) и S 1 (x) Рис. 25. Графики функций f (x) и S 2 (x) Рис. 26. Графики функций f (x) и S 3 (x) 31

32 Рис. 27. Графики функций f (x) и S 4 (x) Рис. 28. Графики функций f (x) и S 99 (x) ЗАДАЧИ 9. Разложите функцию f(x) = cos x, x π, в ряд Фурье только по косинусам. 1. Разложите функцию f(x) = e ax, a >, x π, в ряд Фурье только по синусам. 11. Разложите функцию f(x) = x 2, x π, в ряд Фурье только по синусам. 12. Разложите функцию f(x) = sin ax, x π, в ряд Фурье по только косинусам. 13. Разложите функцию f(x) = x sin x, x π, в ряд Фурье только по синусам. Ответы 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. Если a не является целым числом, то sin ax = 1 cosaπ {1 + +2a cos 2nx } + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; если a = 2m четное число, то sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; если a = 2m 1 положительное нечетное число, то sin(2m 1)x = 2 { cos 2nx } 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Ряд Фурье функции с произвольным периодом Предположим, что функция f(x) задана в промежутке [ l, l], l >. Сделав подстановку x = ly, y π, получим функцию g(y) = f(ly/π), определенную в промежутке π [, π]. Этой функции g(y) соответствует (формальный) ряд Фурье () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny), коэффициенты которого находятся по формулам Эйлера Фурье: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π Возвращаясь к старой переменной, т. е. полагая в выписанных формулах y = πx/l, мы получим для функции f(x) тригонометрический ряд несколько измененного вида: где f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Говорят, что формулы (11) (13) задают разложение в ряд Фурье функции с произвольным периодом. ПРИМЕР 9. Найдем ряд Фурье функции, заданной в промежутке (l, l) выражением { A, если l < x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn =, если n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn Составим ряд Фурье функции f (x) : f(x) A + B π (B A Так как cosπn = (1) n, то n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l при n = 2k получаем b n = b 2k =, при n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1).

36 Отсюда f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Согласно теореме о поточечной сходимости ряд Фурье функции f(x) сходится к сумме A, если l < x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Рис. 29. График функции f (x) с наложенными на него графиками гармоник S (x) = a 2 и S 1(x) = b 1 sinx. Для наглядности графики трех высших гармоник S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l и S 7 (x) = b 7 sin 7πx сдвинуты по вертикали вверх l 37

38 Рис. 3. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 99 (x) Рис. 31. Фрагмент рис. 3 в другом масштабе 38

39 ЗАДАЧИ В задачах разложить в ряды Фурье указанные функции в заданных промежутках. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x) = sin π x, (1, 1). { 2 1, если 1 < x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. а) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2 (2n 1) 2 l б) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1)πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. а) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... б) f(x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Комплексная форма ряда Фурье Разложение f(x) = c n e inx, где c n = 1 2π f(x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., называется комплексной формой ряда Фурье. Функция разлагается в комплексный ряд Фурье при выполнении тех же условий, при которых она разлагается в вещественный ряд Фурье. 4

41 ПРИМЕР 1. Найдем ряд Фурье в комплексной форме функции, заданной формулой f(x) = e ax, в промежутке [, π), где a вещественное число. Решение. Вычислим коэффициенты: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Комплексный ряд Фурье функции f имеет вид f(x) sh aπ π n= (1) n a in einx. Убедимся, что функция f(x) является кусочно-гладкой: в промежутке (, π) она непрерывно-дифференцируема, и в точках x = ±π существуют конечные пределы (5), (6) lim h + ea(+h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Следовательно, функция f(x) представима рядом Фурье sh aπ π n= (1) n a in einx, который сходится к сумме: { e S(x) = ax, если π < x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 ПРИМЕР 11. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, где a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Напомним, что сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q (q < 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Теперь найдем ряд Фурье в вещественной форме. Для этого сгруппируем слагаемые с номерами n и n для n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Поскольку c = 1, то 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Это ряд Фурье в вещественной форме функции f(x). Таким образом, не вычислив ни одного интеграла, мы нашли ряд Фурье функции. При этом мы вычислили трудный интеграл, зависящий от параметра cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a < 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Каждую из простых дробей разложим по формуле геометрической прогрессии: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Это возможно, так как az = a/z = a < 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, или, более коротко, c n = 1 2i a n sgnn. Тем самым, ряд Фурье в комплексной форме найден. Сгруппировав слагаемые с номерами n и n получим ряд Фурье функции в вещественной форме: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. Вновь нам удалось вычислить следующий сложный интеграл: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ЗАДАЧИ 24. Используя (15), вычислите интеграл cos nxdx 1 2a cosx + a 2 для вещественных a, a > Используя (16), вычислите интеграл sin x sin nxdx для вещественных a, a > a cosx + a2 В задачах найдите ряды Фурье в комплексной форме для функций. 26. f(x) = sgn x, π < x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Равенство Ляпунова Теорема (равенство Ляпунова). Пусть функция f: [, π] R такова, что f 2 (x) dx < +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Поэтому равенство Ляпунова для функции f(x) принимает вид: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Из последнего равенства для a π находим sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Полагая a = π 2, получаем sin2 na = 1 при n = 2k 1 и sin 2 na = при n = 2k. Следовательно, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. ПРИМЕР 14. Напишем равенство Ляпунова для функции f(x) = x cosx, x [, π], и найдем с его помощью сумму числового ряда (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Решение. Прямые вычисления дают = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Поскольку f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1)x π(n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2, если n = 2k, 2, если n = 2k + 1. Коэффициент a 1 необходимо вычислить отдельно, поскольку в общей формуле при n = 1 знаменатель дроби обращается в ноль. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Таким образом, равенство Ляпунова для функции f(x) имеет вид: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π , откуда находим сумму числового ряда (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) = π π ЗАДАЧИ 32. Напишите равенство Ляпунова для функции { x f(x) = 2 πx, если x < π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Ответы + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, где c n коэффициент Фурье 2π функции f(x), а d n коэффициент Фурье функции g(x). 6. Дифференцирование рядов Фурье Пусть f: R R непрерывно дифференцируемая 2π-периодическая функция. Ее ряд Фурье имеет вид: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Производная f (x) этой функции будет непрерывной и 2π-периодической функцией, для которой можно записать формальный ряд Фурье: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), где a, a n, b n, n = 1, 2,... коэффициенты Фурье функции f (x). 51

52 Теорема (о почленном дифференцировании рядов Фурье). При сделанных выше предположениях справедливы равенства a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. ПРИМЕР 15. Пусть кусочно-гладкая функция f(x) непрерывна в промежутке [, π]. Докажем, что при выполнении условия f(x)dx = имеет место неравенство 2 dx 2 dx, называемое неравенством Стеклова, и убедимся, что равенство в нем осуществляется лишь для функций вида f(x) = A cosx. Иными словами, неравенство Стеклова дает условия, при выполнении которых из малости производной (в среднеквадратичном) следует малость функции (в среднеквадратичном). Решение. Продолжим функцию f(x) на промежуток [, ] четным образом. Обозначим продолженную функцию тем же символом f(x). Тогда продолженная функция будет непрерывной и кусочно-гладкой на отрезке [, π]. Так как функция f(x) непрерывна, то f 2 (x) непрерывна на отрезке и 2 dx < +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Так как продолженная функция четная, то b n =, a = по условию. Следовательно, равенство Ляпунова принимает вид 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Убедимся, что для f (x) выполняется заключение теоремы о почленном дифференцировании ряда Фурье, то есть что a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Пусть производная f (x) претерпевает изломы в точках x 1, x 2,..., x N в промежутке [, π]. Обозначим x =, x N+1 = π. Разобьем промежуток интегрирования [, π] на N +1 промежуток (x, x 1),..., (x N, x N+1), на каждом из которых f(x) непрерывно дифференцируема. Тогда, используя свойство аддитивности интеграла, а затем интегрируя по частям, получим: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) =. x j π j= Последнее равенство имеет место в силу того, что функция f(x) была продолжена четным образом, а значит f(π) = f(). Аналогично получим a n = nb n. Мы показали, что теорема о почленном дифференцировании рядов Фурье для непрерывной кусочно-гладкой 2π-периодической функции, производная которой в промежутке [, π] претерпевает разрывы первого рода, верна. Значит f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, так как a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Поскольку 2 dx < +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Так как каждый член ряда в (18) больше или равен соответствующего члена ряда в (17), то 2 dx 2 dx. Вспоминая, что f(x) является четным продолжением исходной функции, имеем 2 dx 2 dx. Что и доказывает равенство Стеклова. Теперь исследуем для каких функций в неравенстве Стеклова имеет место равенство. Если хоть для одного n 2, коэффициент a n отличен от нуля, то a 2 n < na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 ЗАДАЧИ 37. Пусть кусочно-гладкая функция f(x) непрерывна в промежутке [, π]. Докажите, что при выполнении условия f() = f(π) = имеет место неравенство 2 dx 2 dx, также называемое неравенством Стеклова, и убедитесь, что равенство в нем имеет место лишь для функций вида f(x) = B sin x. 38. Пусть функция f непрерывна в промежутке [, π] и имеет в нем (за исключением разве лишь конечного числа точек) производную f (x), интегрируемую с квадратом. Докажите, что если при этом выполнены условия f() = f(π) и f(x) dx =, то имеет место неравенство 2 dx 2 dx, называемое неравенством Виртингера, причем равенство в нем имеет место лишь для функций вида f(x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Применение рядов Фурье для решения дифференциальных уравнений в частных производных При изучении реального объекта (явления природы, производственного процесса, системы управления и т. д.) существенными оказываются два фактора: уровень накопленных знаний об исследуемом объекте и степень развития математического аппарата. На современном этапе научных исследований выработалась следующая цепочка: явление физическая модель математическая модель. Физическая постановка (модель) задачи состоит в следующем: выявляются условия развития процесса и главные факторы на него влияющие. Математическая постановка (модель) заключается в описании выбранных в физической постановке факторов и условий в виде системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и др.). Задача называется корректно поставленной, если в определенном функциональном пространстве решение задачи существует, единственно и непрерывно зависит от начальных и граничных условий. Математическая модель не бывает тождественна рассматриваемому объекту, а является его приближенным описанием Вывод уравнения свободных малых поперечных колебаний струны Будем следовать учебнику . Пусть концы струны закреплены, а сама струна туго натянута. Если вывести струну из положения равновесия (например, оттянуть или ударить по ней), то струна начнет 57

58 колебаться. Будем предполагать, что все точки струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные колебания), причем в каждый момент времени струна лежит в одной и той же плоскости. Возьмем в этой плоскости систему прямоугольных координат xou. Тогда, если в начальный момент времени t = струна располагалась вдоль оси Ox, то u будет означать отклонение струны от положения равновесия, то есть, положению точки струны с абсциссой x в произвольный момент времени t соответствует значение функции u(x, t). При каждом фиксированном значении t график функции u(x, t) представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис. 32). При постоянном значении x функция u(x, t) дает закон движения точки с абсциссой x вдоль прямой, параллельной оси Ou, производная u t скорость этого движения, а вторая производная 2 u t 2 ускорение. Рис. 32. Силы, приложенные к бесконечно малому участку струны Составим уравнение, которому должна удовлетворять функция u(x, t). Для этого сделаем еще несколько упрощающих предположений. Будем считать струну абсолютно гиб- 58

59 кой, то есть будем считать, что струна не сопротивляется изгибу; это означает, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательным к ее мгновенному профилю. Струна предполагается упругой и подчиняющейся закону Гука; это означает, что изменение величины силы натяжения пропорционально изменению длины струны. Примем, что струна однородна; это означает, что ее линейная плотность ρ постоянна. Внешними силами мы пренебрегаем. Это и означает, что мы рассматриваем свободные колебания. Мы будем изучать только малые колебания струны. Если обозначить через ϕ(x, t) угол между осью абсцисс и касательной к струне в точке с абсциссой x в момент времени t, то условие малости колебаний заключается в том, что величиной ϕ 2 (x, t) можно пренебрегать по сравнению с ϕ(x, t), т. е. ϕ 2. Так как угол ϕ мал, то cosϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u следовательно, величиной (u x x,) 2 также можно пренебрегать. Отсюда сразу следует, что в процессе колебания можем пренебречь изменением длины любого участка струны. Действительно, длина кусочка струны M 1 M 2, проектирующаяся в промежуток оси абсцисс, где x 2 = x 1 + x, равна l = x 2 x () 2 u dx x. x Покажем, что при наших предположениях величина силы натяжения T будет постоянной вдоль всей струны. Возьмем для этого какой либо участок струны M 1 M 2 (рис. 32) в момент времени t и заменим действие отброшенных участ- 59

60 ков силами натяжений T 1 и T 2. Так как по условию все точки струны движутся параллельно оси Ou и внешние силы отсутствуют, то сумма проекций сил натяжения на ось Ox должна равняться нулю: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Отсюда в силу малости углов ϕ 1 = ϕ(x 1, t) и ϕ 2 = ϕ(x 2, t) заключаем, что T 1 = T 2. Обозначим общее значение T 1 = T 2 через T. Теперь вычислим сумму проекций F u этих же сил на ось Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Так как для малых углов sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t), а tg ϕ(x, t) u(x, t)/ x, то уравнение (2) можно переписать так F u T (tg ϕ(x 2, t) tg ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x. Так как точка x 1 выбрана произвольно, то F u T 2 u x2(x, t) x. После того как найдены все силы, действующие на участок M 1 M 2, применим к нему второй закон Ньютона, согласно которому произведение массы на ускорение равно сумме всех действующих сил. Масса кусочка струны M 1 M 2 равна m = ρ l ρ x, а ускорение равно 2 u(x, t). Уравнение t 2 Ньютона принимает вид: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, где α 2 = T ρ постоянное положительное число. 6

61 Сокращая на x, получим 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) В результате мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами. Его называют уравнением колебаний струны или одномерным волновым уравнением. Уравнение (21) по сути является переформулировкой закона Ньютона и описывает движение струны. Но в физической постановке задачи присутствовали требования о том, что концы струны закреплены и положение струны в какойто момент времени известно. Уравнениями эти условия будем записывать так: а) будем считать, что концы струны закреплены в точках x = и x = l, т. е. будем считать, что для всех t выполнены соотношения u(, t) =, u(l, t) = ; (22) б) будем считать, что в момент времени t = положение струны совпадает с графиком функции f(x), т. е. будем считать, что для всех x [, l] выполнено равенство u(x,) = f(x); (23) в) будем считать, что в момент времени t = точке струны с абсциссой x придана скорость g(x), т. е. будем считать, что u (x,) = g(x). (24) t Соотношения (22) называются граничными условиями, а соотношения (23) и (24) называются начальными условиями. Математическая модель свободных малых поперечных 61

62 колебаний струны заключается в том, что надо решить уравнение (21) с граничными условиями (22) и начальными условиями (23) и (24) Решение уравнения свободных малых поперечных колебаний струны методом Фурье Решения уравнения (21) в области x l, < t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Подставляя (25) в (21), получим: X T = α 2 X T, (26) или T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Говорят, что произошло разделение переменных. Так как x и t не зависят друг от друга, то левая часть в (27) не зависит от x, а правая от t и общая величина этих отношений 62

63 должна быть постоянной, которую обозначим через λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) При этом граничные условия (22) примут вид X()T(t) = и X(l)T(t) =. Поскольку они должны выполняться для всех t, t >, то X() = X(l) =. (3) Найдем решения уравнения (28), удовлетворяющего граничным условиям (3). Рассмотрим три случая. Случай 1: λ >. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид X (x) β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение k 2 β 2 = имеет корни k = ±β. Следовательно, общее решение уравнения (28) имеет вид X(x) = C e βx + De βx. Мы должны подобрать постоянные C и D так, чтобы соблюдались граничные условия (3), т. е. X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Поскольку β, то эта система уравнений имеет единственное решение C = D =. Следовательно, X(x) и 63

64 u(x, t). Тем самым, в случае 1 мы получили тривиальное решение, которое далее рассматривать не будем. Случай 2: λ =. Тогда уравнение (28) принимает вид X (x) = и его решение, очевидно, задается формулой: X(x) = C x+d. Подставляя это решение в граничные условия (3), получим X() = D = и X(l) = Cl =, значит, C = D =. Следовательно, X(x) и u(x, t), и мы опять получили тривиальное решение. Случай 3: λ <. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 В дальнейшем будем придавать n только положительные значения n = 1, 2,..., поскольку при отрицательных n будут получаться решения того (же вида. nπ) Величины λ n = называются собственными числами, а функции X n (x) = C n sin πnx собственными функ- l l циями дифференциального уравнения (28) с краевыми условиями (3). Теперь решим уравнение (29). Для него характеристическое уравнение имеет вид k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Поскольку выше мы выяснили, что нетривиальные решения X(x) уравнения (28) имеются только для отрицательных λ, равных λ = n2 π 2, то именно такие λ мы и будем рассматривать далее. Корнями уравнения (32) являются k = ±iα λ, а решения уравнения (29) имеют вид: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l где A n и B n произвольные постоянные. Подставляя формулы (31) и (33) в (25), найдем частные решения уравнения (21), удовлетворяющие краевым условиям (22): (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n sin πnx. l l l Внося множитель C n в скобку и вводя обозначения C n A n = b n и B n C n = a n, запишем u n (X, T) в виде (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx. (34) l l l 65

66 Колебания струны, соответствующие решениям u n (x, t), называются собственными колебаниями струны. Так как уравнение (21) и граничные условия (22) линейны и однородны, то линейная комбинация решений (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l будет решением уравнения (21), удовлетворяющим граничным условиям (22) при специальном выборе коэффициентов a n и b n, обеспечивающем равномерную сходимость ряда. Теперь подберем коэффициенты a n и b n решения (35) так, чтобы оно удовлетворяло не только граничным, но и начальным условиям (23) и (24), где f(x), g(x) заданные функции (причем f() = f(l) = g() = g(l) =). Считаем, что функции f(x) и g(x) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье. Подставляя в (35) значение t =, получим u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Дифференцируя ряд (35) по t и подставляя t =, получим u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), а это есть разложение функций f(x) и g(x) в ряды Фурье. Следовательно, a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Подставляявыражениядлякоэффициентов a n и b n в ряд (35), мы получим решение уравнения (21), удовлетворяющее граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24). Тем самым мы решили задачу о свободных малых поперечных колебаниях струны. Выясним физический смысл собственных функций u n (x, t) задачи о свободных колебаниях струны, определенных формулой (34). Перепишем ее в виде где u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n Из формулы (37) видно, что все точки струны совершают гармонические колебания с одной и той же частотой ω n = πnα и фазой πnα δ n. Амплитуда колебания зависит от l l абсциссы x точки струны и равна α n sin πnx. При таком колебании все точки струны одновременно достигают своего l максимального отклонения в ту или иную сторону и одновременно проходят положение равновесия. Такие колебания называются стоячими волнами. Стоячая волна будет иметь n + 1 неподвижную точку, задаваемую корнями уравнения sin πnx = в промежутке [, l]. Неподвижные точки называются узлами стоячей волны. Посередине между узла- l ми располагаются точки, в которых отклонения достигают максимума; такие точки называются пучностями. Каждая струна может иметь собственные колебания строго определенных частот ω n = πnα, n = 1, 2,.... Эти частоты называются собственными частотами струны. Самый низкий l тон, который может издавать струна, определяется самой 67

68 низкой собственной частотой ω 1 = π T и называется основным тоном струны. Остальные тона, соответствующие l ρ частотам ω n, n = 2, 3,..., называются обертонами или гармониками. Для наглядности изобразим типичные профили струны, издающей основной тон (рис. 33), первый обертон (рис. 34) и второй обертон (рис. 35). Рис. 33. Профиль струны, издающей основной тон Рис. 34. Профиль струны, издающей первый обертон Рис. 35. Профиль струны, издающей второй обертон Если струна совершает свободные колебания, определяемые начальными условиями, то функция u(x, t) представляется, как это видно из формулы (35), в виде суммы отдельных гармоник. Таким образом произвольное колебание 68

69 струны представляет собой суперпозицию стоячих волн. При этом характер звучания струны (тон, сила звука, тембр) будет зависеть от соотношения между амплитудами отдельных гармоник Сила, высота и тембр звука Колеблющаяся струна возбуждает колебания воздуха, воспринимаемые ухом человека как звук, издаваемый струной. Сила звука характеризуется энергией или амплитудой колебаний: чем больше энергия, тем больше сила звука. Высота звука определяется его частотой или периодом колебаний: чем больше частота, тем выше звук. Тембр звука определяется наличием обертонов, распределением энергии по гармоникам, т. е. способом возбуждения колебаний. Амплитуды обертонов, вообще говоря, меньше амплитуды основного тона, а фазы обертонов могут быть произвольными. Наше ухо не чувствительно к фазе колебаний. Сравните, например, две кривые на рис. 36, заимствованном из . Это запись звука с одним и тем же основным тоном, извлеченного из кларнета (а) и рояля (б). Оба звука не представляют собой простых синусоидальных колебаний. Основная частота звука в обоих случаях одинакова это и создает одинаковость тона. Но рисунки кривых разные потому, что на основной тон наложены разные обертона. В каком-то смысле эти рисунки показывают, что такое тембр. 69

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МАТИ Российский государственный технологический университет имени К. Э. Циолковского

Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной. Основные

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Периодические функции. Гармонический анализ В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые повторяются через

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» Н. П. Чуев Элементы гармонического анализа Методические

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Пояснения к тексту: знак читается как "равносильно" и обозначает, что у уравнений справа от знака и слева от знака множество решений совпадает, знак IR обозначает ммножество вещественных чисел, знак IN

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1. Дифференциальные уравнения с частными производными Уравнение, связывающее неизвестную функцию u (x 1, x 2,..., x n), независимые переменные x 1, x 2,..., x n и частные

1 2 Оглавление 1 Ряды Фурье 5 1.1 Тригонометрический ряд Фурье............ 5 1.2 Только sin & cos..................... 7 1.3 Ряд Фурье в комплексной форме........... 11 1.4 f(x) = c k?.......................

82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а Прикладной математики

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на , так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

35 7 Тригонометрические ряды Фурье Ряды Фурье для периодических функций с периодом T. Пусть f(x) - кусочно - непрерывная периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основную тригонометрическую систему

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R(), если, m, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 6 Разделение переменных в декартовых координатах 1.1. (Задача 1.49) Плоскость z = заряжена с плотностью σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), где σ, α, β постоянные.

Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a(a) a(a) a(a) (), где

С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

ВОЕННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР ВВС «ВОЕННО-ВОЗДУШНАЯ АКАДЕМИЯ имени профессора Н. Е. ЖУКОВСКОГО и Ю. А. ГАГАРИНА» Н. Г. АФЕНДИКОВА, И. Н. ОМЕЛЬЧЕНКО, Г. В. РЫЖАКОВ, А. Ф. САЛИМОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРИМЕРЫ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Глава 5. Ряды Фурье 5.. Занятие 5 5... Основные определения Функциональный ряд вида a 2 + (a k cos x + b k si x) (5..) называется тригонометрическим рядом, числа a и b коэффициентами тригонометрического

Ряды Фурье Ортогональные системы функций С точки зрения алгебры равенство где - функции данного класса а - коэффициенты из R или C попросту означает что вектор является линейной комбинацией векторов В

3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k (k 1 Функциональным рядом называется

СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ А. Многочлены Чебышева - Эрмита Вводные замечания При решении многих важных задач математической физики, квантовой механики, теоретической физики приходится

Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа, члены ряда (зависят

Лекция №60

6.21. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.

Теорема: Для любой чётной функции её ряд Фурье состоит только из косинусов.

Для любой нечётной функции:
.

Доказательство : Из определения четной и нечетной функции следует, что если ψ(x) – четная функция, то

.

Действительно,

так как по определению четной функции ψ(- x) = ψ(x).

Аналогично можно доказать, что если ψ(x) – нечетная функция, то

Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ƒ(x), то произведение ƒ(x) ·coskxесть функция также нечетная, а ƒ(x) ·sinkx– четная; следовательно,

(21)

т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».

Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение ƒ(x)·sinkxесть функция нечетная, а ƒ(x) ·coskx– четная, то:

(22)

т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной, а также получать разложение в ряд Фурье функции, заданной на части промежутка .

Во многих задачах функция
задается в интервале
. Требуется представить данную функцию в виде бесконечной суммы синусов и косинусов углов, кратных числам натурального ряда, т.е. необходимо произвести разложение функции в ряд Фурье. Обычно в таких случаях поступают следующим образом.

Чтобы разложить заданную функцию по косинусам, функцию
доопределяют в интервале
четным образом, т.е. так, что в интервале

. Тогда для «продолженной» четной функции справедливы все рассуждения предыдущего параграфа, и, следовательно, коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам

,

В этих формулах, как видим, фигурируют значения функции
, лишь заданные в интервале
. Чтобы разложить функцию
, заданную в интервале
, по синусам, необходимо доопределить эту функцию в интервале
нечетным образом, т.е. так, что в интервале

.

Тогда вычисление коэффициентов ряда Фурье нужно вести по формулам

.

Теорема 1. Функцию заданную на промежутке можно бесконечным числом способов разложить в тригонометрический ряд Фурье, в частности по cos или по sin.

Замечание. Функция
, заданная в интервале
может быть доопределена в интервале
любым образом, а не только так, как было сделано выше. Но при произвольном доопределении функции разложение в ряд Фурье будет более сложным, чем то, которое получается при разложении по синусам или косинусам.

Пример. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
, заданную в интервале
(рис.2а).

Решение. Доопределим функцию
в интервале
четным образом (график симметричен относительно оси
)

,

Так как
, то

при

,

при

6.22. Ряд Фурье для функции, заданной на произвольном промежутке

До сих пор мы рассматривали функцию, заданную в интервале
, считая ее вне этого интервала периодической, с периодом
.

Рассмотрим теперь функцию
, период которой равен 2l , т.е.
на интервале
, и покажем, что в этом случае функция
может быть разложена в ряд Фурье.

Положим
, или
. Тогда при измененииот –l доl новая переменнаяизменяется от
дои, следовательно, функциюможно рассматривать как функцию, заданную в интервале от
дои периодическую вне этого промежутка, с периодом
.

Итак,
.

Разложив
в ряд Фурье, получим

,

.

Переходя к старым переменным, т.е. полагая

, получим
,
и
.

То есть ряд Фурье для функции
, заданной в интервале
, будет иметь вид:

,

,

.

Если функция
четная, то формулы для определения коэффициентов ряда Фурье упрощаются:

,

,

.

В случае, если функция
нечетная:

,

,

.

Если функция
задана в интервале
, то ее можно продолжить в интервале
либо четным, либо нечетным образом. В случае четного продолжения функции в интервале

,

.

В случае нечетного доопределения функции в интервале
коэффициенты ряда Фурье находятся по формулам

,

.

Пример . Разложить в ряд Фурье функцию

по синусам кратных дуг.

Решение . График заданной функции представлен на рис.3. Продолжим функцию нечетным образом (рис.4), т.е. будем вести разложение по синусам.

Все коэффициенты

,

Введем замену
. Тогда при
получим
, при
имеем
.

Таким образом

.

6.23. .Понятие о разложении в ряд Фурье непериодических функций

Функцию, заданную в основной области (-ℓ, ℓ), можно периодически продолжить за основную область с помощью функционального соотношения ƒ(x+2 ℓ) = ƒ(x).

Для непериодической функции ƒ(x) (-∞

φ(x)=
(2.18)

Формула (2.18) будет верна на всей оси -∞ < x< ∞ . Можно написать подобное разложение для функции

ƒ(x)=
(2.19)

Формула (2.19) будет верна только на конечном промежутке (-ℓ, ℓ), так как на этом промежутке ƒ(x) и φ(x) совпадают.

Таким образом, непериодическую функцию можно разложить в ряд Фурье на конечном промежутке.

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

где a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - действительные константы, т.е.

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты a o ,a n и b n называются коэффициентами Фурье , и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда - использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Где a o - константа, с 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 , с n =(a n 2 +b n 2) 1/2 - амплитуды различных компонент, а равен a n =arctg a n /b n .

Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) называется первой или основной гармоникой, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная , если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде .

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

Ряд Фурье четной периодической функции f (x) с периодом 2р содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Разложение в ряд Фурье по синусам

Ряд Фурье нечетной периодической функции f (x) с периодом 2р содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до р, а не только от 0 до 2р, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f (x) в диапазоне от 0 до р, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f (x) =х, построенная на интервале от х=0 до х=р. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f (x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2р, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f (x) в диапазоне от 0 до р, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f (x) =x, построенная на интервале от от х=0 до х=р. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис.

Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2р, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b