Думай как фрик. Нестандартные способы решения проблем. Курсовая работа: Нестандартные методы решения уравнений и неравенств

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем их решение по формулам. Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?

Этим вопросам посвящена исследовательская работа «Нестандартные способы решения квадратных уравнений».

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 9 классе при сдаче экзаменов.

Цель исследовательской работы: выявить способы решения квадратных уравнений, узнать можно ли решить любое квадратное уравнение данными способами и выделить особенности и недостатки этих способов.

Задачи исследовательской работы: проанализировать источники литературы для выявления способов решения квадратных уравнений, показать различные способы решения квадратных уравнений; выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений; научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Методы исследования: анализ литературы, социологический опрос, наблюдение, сравнение и обобщение результатов.

Просмотр содержимого презентации
«Нестандартные способы решения квадратных уравнений»

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Богучарская средняя общеобразовательная школа №1»

Научно-исследовательская работа по теме: «Нестандартные способы решения квадратных уравнений»

Прядкова Екатерина Сергеевна

Руководитель: Алабина Галина Юрьевна

Выявить способы решения квадратных уравнений

Узнать можно ли решить любое квадратное уравнение данными способами и выделить особенности и недостатки этих способов

• Анализировать источники литературы для выявления способов решения квадратных уравнений
• Показать различные способы решения квадратных уравнений
• Выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений
• Научиться решать квадратные уравнения различными способами

Способы решения квадратных уравнений

Разложение левой части на множители

По формуле

Основные

С использованием теоремы Виета (прямой и обратной)

Графический способ

По свойствам коэффициентов

Способом «переброски»

Дополнительные

С помощью циркуля и линейки

С помощью номограммы

Геометрический способ

Свойства коэффициентов

Свойства:

Способ «переброски»

Умножив обе части уравнения на а, получим

Пусть

, откуда

Тогда получим уравнение с новой переменной

Его корни у 1 и у 2 . Окончательно

С помощью циркуля и линейки

Радиус окружности больше ординаты центра

, окружность пересекает ось Ох в двух точках, где корни исходного уравнения.

Радиус окружности равен ординате центра

, окружность пересекает ось Ох в одной точке где корень исходного уравнения.

Радиус окружности меньше ординаты центра

, окружность не имеет общих точек с осью Ох. В этом случае исходное уравнение не имеет корней.

С помощью номограммы

х 2 -9х+8=0

Х 1 =8; х 2 =1

Геометрический способ

Рассмотрим, как древние греки решали уравнение

Решение представлено на рисунке, где

или

Выражения

и 16 + 9

геометрически представляют собой один и тот же квадрат со стороной 5.

Поэтому

Обработка данных

Метод выделения

полного квадрата

Разложение левой части

уравнения на множители

Ответ: -4,5; 1.

Обработка данных

С использованием

формул Виета

По формуле

имеет два разных

по знаку корня

больший по модулю

корень отрицательный

Ответ: -4,5; 1.

Обработка данных

По свойству коэффициентов

Способом «переброски»

Перебросим коэффициент а = 2 к свободному члену и получим уравнение:

Так как

из которого по формулам Виета

Корнями исходного уравнения будут

Ответ: -4,5; 1.

Обработка данных

Графический метод

С помощью циркуля и линейки

Запишем уравнение в виде

Определим координаты центра окружности по формулам:

Построим в одной системе координат графики функций

Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1).

Ответ: -4,5; 1.

Обработка данных

Геометрический способ

С помощью номограммы

Представим уравнение в виде:

Представим уравнение в виде:

Площадь полученного квадрата:

Так как

Номограмма дает положительный корень

Таким образом, получили уравнение:

отрицательный корень

Ответ: -4,5; 1.

Положительные стороны и недостатки

Положительные стороны

Разложение левой части уравнения на множители

Недостатки

Дает возможность сразу увидеть корни уравнения.

Метод выделения полного квадрата

Нужно правильно расчленить слагаемые для

группировки.

По формуле

За минимальное количество действий можно найти корни уравнений

Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата.

Можно применить ко всем квадратным уравнениям.

С использованием формул Виета

Нужно выучить формулы.

Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения.

Легко находятся только целые корни.

Название способа решения квадратных уравнений

Положительные стороны

Недостатки

Способом «переброски»

За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета.

По свойствам коэффициентов

Графический способ

Легко найти только целые корни.

Не требует особых усилий

Наглядный способ

Подходит только к некоторым уравнениям

С помощью циркуля и линейки

Могут быть неточности при составлении графиков

Наглядный способ

С помощью номограммы

Наглядный способ, прост в применении.

Могут быть неточности

Геометрический способ

Наглядный способ.

Не всегда под рукой имеется номограмма.

Похож на способ выделения полного квадрата

Для того, чтобы хорошо решать любое квадратные уравнения необходимо

знать:

 формулу нахождения дискриминанта;

 формулу нахождения корней квадратного уравнения;

 алгоритмы решения уравнений данного вида.

уметь:

 решать неполные квадратные уравнения;

 решать полные квадратные уравнения;

 решать приведенные квадратные уравнения;

 находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

 делать проверку.

Михайлов Александр, Петухова Анастасия, Жагурина Ксения, Котов Александр

Данная работа - исследовательский реферат, который учащиеся представляли на научной практической конференции, а также материалы этой работы представляли на уроке - семинаре в 11-м классе по теме " Решение логарифмических и показательных уравнений нестандартными методами". Данную рароту можно использовать учителям как методическое пособие на факультативных занятиях, при подготовке к ЕГЭ заданий С1, С3 и для работы в профильных классах. Преимущество этой работы в том, что здесь выведены и подробно описаны алгоритмы решений уравнений и неравенств, что не наблюдается в обычных источниках.

Скачать:

Предварительный просмотр:

План.

Введение.

1. Метод ограниченности функций:

1.1. Решение уравнений

1.2.Решение неравенств

2. Метод неотрицательности функций:

2.1.Решение уравнений

2.2.Решение неравенств

3. Метод использования области допустимых значений:

3.1.Решение уравнений

3.2.Решение неравенств

4. Метод использования свойств синуса и косинуса:

4.1.Решение уравнений

4.2.Решение неравенств

5. Метод использования числовых неравенств:

5.1.Решение уравнений

5.2. решение неравенств

6. Метод использования производной:

6.1.Решение уравнений

6.2. решение неравенств

7. Решение неравенств методом замены функций.

8. Заключение.

9. Литература.

Введение.

« Уж лучше совсем не помышлять об отыскании каких бы то ни было истин, чем делать это без всякого метода…»

Рене Декарт.

В математике, как известно, выше всего ценится не просто верное решение, но и наиболее короткое из возможных, как говорят сами математики, более рациональное.

Как найти такое решение? Что для этого необходимо знать? Чем владеть? Что это даёт ученику? Или это только удел одарённых учеников? На эти вопросы мы попробуем найти ответы. Учимся мы в физико – математическом классе и увлечены математикой.

Хотим иметь прочные и высокие знания по данному предмету, которые понадобятся нам при дальнейшем обучении в вузах. Почему мы выбрали именно эту тему?

Данная тема актуальна, она соответствует нашему профилю, потому что её изучение помогает расширить и углубить знания по теме: «Методы решения уравнений и неравенств». Эта работа поможет нам успешно сдать ЕГЭ и приобрести опыт выполнения научной работы.

1. Метод ограниченности функций.

1.1. Решение уравнений.

Данный метод основан на применении следующей теоремы:

Теорема: Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функции y=f(x), y=g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений:

Графическое представление.

E(f(x))E(g(x))= A

Пример 1. Решите уравнение: .

Решение:

1. Рассмотрим функции g() = и f()=
2. E(g()) =, т.к.
3. E(f()) =, т.к, то.
4. g()=1 для функции g() = и f()=1 для функции f()= , значит можно воспользоваться теоремой о ограниченности функции.

5. Составляем систему уравнений и решаем её:

Достаточно решить одно, более простое уравнение, и сделать проверку корней в другом уравнение.

Lg(-2)=0,

Проверка: если, то, -1 = -1, верно, значит является решением исходного уравнения.

Ответ: 3.

Пример 2 . Решите уравнение:

Решение:

Преобразуем данное уравнение:

Рассмотрим функции и

1. Е, т.к,
2. Е, т.к
3. Составляем систему уравнений и решаем её:

Ответ: .

1.2. Решение неравенств.

Пусть множество есть общая часть (пересечение) областей существования функций и и пусть для любого справедливы неравенства и где - некоторое число. Тогда неравенство

равносильно системе уравнений

Пример 1.

Обе части неравенства определены для всех действительных чисел. Для любого, поэтому Следовательно, неравенство равносильно системе

которая, в свою очередь, равносильна системе

Единственное решение второго уравнения системы есть Это число удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеют одно решение

Ответ: -1.

Пример 2.

Обе части неравенства определены на множестве Для любого имеем

Поэтому неравенство равносильно системе уравнений

Первое уравнение системы имеет единственное решение, которое удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеют одно решение.

Ответ: 3.

1. Метод неотрицательности функций.

2.1. Решение уравнений.

Данный метод основан на следующей теореме:

Теорема:

Пусть левая часть уравнения F(х)=0 (1), есть сумма нескольких функций F(x)=f(x)+f(x)+…+f(x) каждая из которых неотрицательна для любого х из области её существования.

Тогда уравнение (1) равносильно системе уравнений:

Пример 1.

Решите уравнение:

Так как и 0, то данное уравнение равносильно системе из двух уравнений:

Проверка:
если х=3, то 0 = 0, верно. Так как х = 3 является решением системы равносильной исходному уравнению, то оно является корнем первоначального уравнения.

Ответ: 3.

Пример 2.

Решите уравнение:

преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты двух выражений

(х+22)+(2-1)=0.

Так как данные функции f(x)=(x+22) и g(x)=(2-1) неотрицательны, то данное уравнение равносильно системе двух уравнений:

Проверка: если x = 0, то 2 = 0, неверно.

Так как уравнение имеет единственное решение

x = 0, которое не является решением второго уравнения, то система не имеет решений, следовательно первоначальное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2.2. Решение неравенств .

Данный метод для решения неравенств основан на следующей теореме:

Пусть левая часть неравенства есть сумма нескольких неотрицательных функций, каждая из которых неотрицательна для любого из области определения ее существования, тогда данное неравенство равносильно системе уравнений

Пример 1.

Так как для любого справедливы неравенства

И, то

данное неравенство равносильно системе уравнений

Второе уравнение системы имеет два решения: и. Из этих чисел только удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеют единственное решение

Ответ: 2.

Пример 2.

Каждая функция и неотрицательна для любого из области ее существования. Поэтому неравенство равносильно системе уравнений

Первое уравнение системы имеет два решения: и. Из этих чисел только 4 удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеет одно решение.

Ответ: 4.

1. Метод использования области допустимых значений.

3.1. Решение уравнений.

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 1 . Решите уравнение:

Решение:

ОДЗ этого уравнения состоит из всех, одновременно удовлетворяющих условиям и, т.е ОДЗ есть пустое множество, значит ни одно из чисел не может являться решением, т.е.это означает, что уравнение корней не имеет.

Ответ: нет корней.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример2 . Решите уравнение:

Решение:

ОДЗ этого уравнения состоит из чисел, удовлетворяющих условиям т.е. ОДЗ есть Сделаем проверку, подставив эти значения в уравнение, получим верное равенство.

Ответ:

3.2. Решение неравенств.

Суть этого метода в следующем: если при рассмотрении неравенства выясняется, что обе его части определены на множестве М , состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования неравенства, достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного неравенства.

Рассмотрим этот метод на следующих неравенства х :

Пример 1 .

1.Найдем область допустимых значений неравенства и объединим их в систему:

2.Решим эту систему:

3. Решением этой системы являются два числа: и.

4.Сделав проверку в первоначальное неравенство, x = 1 не удовлетворяет ему. Следовательно, решением неравенства является x = 5.

Ответ: 5.

Пример 2 .

1. Найдем область допустимых значений неравенства и объединим их в систему:

2.Эта система не имеет решений, а значит и данное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

1. Метод использования свойств синуса и косинуса.

4.1. Решение уравнений.

Решение некоторых тригонометрических уравнении может быть сведено к решению систем уравнений. Примерами таких уравнений могут быть следующие:

где, А и В – данные отличные от нуля числа, m и n – данные натуральные числа. При этом используются следующие свойства: если для некоторого числа справедливо строгое неравенство или, то такое число не может быть корнем ни одного из уравнений данного вида.

Пример 1. Решите уравнение : (1)

Решение:

1. Если число - решение уравнения (1), то sin=1 или sin=-1.
2. Если, то из уравнения (1) следует, что, а это невозможно.
3. Если sin=1, то cos4=1.
4. Eсли sin=-1, то cos4= - 1.
5. Следовательно, любое решение уравнения (1) является решением совокупности двух систем уравнений

(2)

(3)

1. Первое уравнение системы (2) имеет решения.

Все они удовлетворяют второму уравнению системы (2), т.е. являются её решением.

1. Первое уравнение системы (3) имеет решения. Ни одно из этих чисел не удовлетворяет второму уравнению системы (3). Поэтому система (3) не имеет решений.
2. Значит, все решения уравнения (1) совпадают со всеми решениями системы (2).

Ответ:

4.2. Решение неравенств.

Аналогичные рассуждения могут применяться и при решении неравенств.

Рассмотрим следующий пример:

Пример 1.

Решение.

1.Допустим -решение данного неравенства, тогда так как в противном случае было бы справедливо неравенство что невозможно. Следовательно, решением неравенства является решение системы:

2. Решая первое уравнение, получается Это решение удовлетворяет второму уравнению. Значит, это решение является решением неравенства.

Ответ:

1. Метод использования числовых неравенств.

5.1. Решение уравнений.

Применяя то или иное числовое неравенство к одной из его частей уравнения, его можно заменить равносильной ему системой уравнений. Примером такого неравенства является неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, где a и b – неотрицательные числа, причём равенство здесь возможно лишь при a=b.

Можно использовать следствие из этих неравенств, например, при, причём тогда и только тогда, когда, или при, причём

Тогда и только тогда, когда

Пример 1. Решите уравнение:

Решение.

1. ОДЗ=R.
2. Преобразуем левую часть:

причём она равна четырём, если x=0.

3. Правая часть при х=0 также равна четырём, а для всех меньше четырёх

4. Следовательно, х=0 , единственное решение

Ответ: х = 0.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение.

1. Введём новые переменные: , где a>0 и b>0.
2. Перепишем левую часть уравнения и докажем, что
3. Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

И,откуда

Т.е.

4. ОДЗ :

5. Так как, а

то данное уравнение равносильно системе из двух уравнений

6. Из второго уравнения системы находим его решения и. Подставим эти значения в первое уравнение системы, получим верное равенств, следовательно, они являются его решением. Значит, и являются решением исходного уравнения.

Ответ: и.

5.2. Решение неравенств.

Пример.

1. Преобразуем левую часть неравенства, получаем:

Применяя формулу этого метода, получаем, что для любого x справедливо неравенство:

Так же для любого x справедливо неравенство:

Равенство здесь справедливо, когда x=0.

2.Следовательно, неравенство имеет одно решение x=0.

3. Из последних двух неравенств следует, что исходное неравенство справедливо лишь тогда, когда обе части исходного неравенства равны 4, а это возможно лишь при х = 0.

Ответ: 0.

1. Метод использования производной.

6.1. Решение уравнений.

Использование монотонности функции .

Пример 1. Решите уравнение:

Решение:

1. Рассмотрим функцию
2. Эта производная принимает только положительные значения на всей области определения, значит функция возрастает. Следовательно, она принимает каждое своё значение только в одной точке. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.
3. Подбором находим, что.

Ответ:

Использование наибольшего и наименьшего значений функции

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение:

1. ОДЗ уравнения есть интервал.
2. Рассмотрим функцию на отрезке

1. Так как функция непрерывна на своей области определения, то её наибольшее и наименьшее значения находятся среди чисел,
2. Наибольшее значение есть, следовательно уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 3.

Применение теоремы Лангранжа.

Теорема: Если функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале, то найдется такая точка с интервала, что.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение.

1. Подбором находим, что и. Докажем, что других корней уравнение не имеет.
2. Предположим, что уравнение имеет три корня
3. Рассмотрим функцию. Она непрерывна на всей числовой прямой.
4. Найдем её производную: . Данная функция тоже непрерывна на всей числовой прямой.
5. По теореме Лагранжа имеем

1. Значит, существует хотя бы две точки и, в которых производная функции f(x) равна нулю.
2. Уравнение имеет только один корень.
3. Значит, заданное уравнение имеет два корня: -2 и 1.

Ответ: -2, 1.

1. 6.2. Решение неравенств.

Пример1. Решить неравенство

Решение.

1. Рассмотрим функцию

D(f ) = ().

2. D() = (). на области определения, значит функция f(x) возрастает на своей области определения и принимает каждое своё значение ровно в одной точке.

3. Тогда уравнение f(x) = 0 может иметь не более одного корня и таким корнем является х = 0.

4. Определим знаки функции: так как функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой прямой, то для x f(x) а для x >0 имеем f(x)>0.

5. Значит, решением исходного неравенства являются все х из промежутка (0;).

Ответ: (0;).

1. Решение неравенств методом замены функций.

Данный метод основан на следующем утверждении:

Если область определения, нули и промежутки знакопостоянства функции соответственно совпадают с областью определения, нулями и промежутками знакопостоянства функции, то неравенства

равносильны.

Это утверждение означает то, что если одна из функций или имеет более простой вид, то при решении этих неравенств ее можно заменить на другую. Рассмотрим основные примеры таких пар функций.

Функции

Пример 1. Решите неравенство

Приведем числитель дроби к основанию 2, а знаменатель к основанию 5.

Последнее неравенство решается методом интервалов, его решением является объединение промежутков

Ответ:

Функции

И .

Области определения функций и совпадают. Кроме того,

Следовательно, для функций и условия утверждения выполнены.

Пример 1.

Последнее неравенство решаем методом интервалов.

Ответ:

Пример 2.

Данное неравенство равносильно неравенству

Множество - решение последнего неравенства.

Ответ: .

Функции

Где при четном.

При нечетном утверждение справедливо. Кроме того, при четном области определения функций совпадают, и

Следовательно, при четном для функций и также выполнены условия утверждения.

Пример 1.

Так как и, то

Ответ:

Пример 2.

Так как и, то

Решив последнюю систему методом интервалов, получаем

Ответ:

Функции

При и

Области определения функций и совпадают. Кроме того, при:

Следовательно, для функций и при выполнены условия первоначального утверждения.

Пример 1.

Ответ:

Пример 2.

Это неравенство равносильно следующему:

Ответ:

Изложенные методы решения эффективны при решении неравенств, левая часть которых представляет собой произведение или частное двух функций указанных выше видов, а правая часть равна нулю.

Для того, чтобы успешно решать такие уравнения и неравенства, предлагаем придерживаться общего алгоритма:

1. Визуально проанализировать уравнение(неравенство)

(определить тип, не спешить раскрывать знак модуля, скобки, возводить в степень)

1. Преобразовать, если необходимо
2. Определить способ решения и учитывать его особенности при выполнении
3. В процессе преобразований необходимо постоянно следить за областью допустимых значений и равносильностью преобразований
4. Уравнение – проверка!

Заключение.

Работа над данной темой была интересной и познавательной. Изучив новые методы решения уравнений и неравенств, мы обогатили свой опыт:

1. Новыми научными понятиями
2. Научились работать со справочной литературой
3. Узнали методы, которые выходят за рамки школьной программы
4. Углубили и расширили свои знания

Самыми трудными оказались методы: применение производной: использование теоремы Лагранжа(ещё требует дополнительного изучения), использование свойств синуса и косинуса, использование числовых неравенств.

Также мы приобрели навыки пользователя компьютера:

1. Форматирование и редактирование текста
2. Работа с редактором формул в Microsoft Word
3. Работа с мастером функций в Microsoft Excel

Данные методы позволяют рационально решать сложные уравнения и неравенства, а порой являются и единственными способами. Для того, чтобы овладеть этими методами, необходимо иметь прочные навыки по стандартным методам, преобразованиям, знать много теоретического материала и дополнительно решать.

Литература.

1. Никольский С.М. « Алгебра и начала анализа. 11 класс», Москва, « Просвещение» - 2004.
2. С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко « Уравнения и неравенства», Москва, «Экзамен» - 1998.
3. Журнал « Математика для школьников», № 4 – 2005.
4. С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко «Уравнения и неравенства. Нестандартные методы», Москва, « Дрофа» - 2002.
5. Школьная энциклопедия « Математика», Москва, « Дрофа» - 1997.
6. Мордкович А.Г. « Алгебра и начала анализаю 10-11 класс. Учебник и задачник», Москва, « Мнемозина» - 2002.
7. Медиаресурсы: «Вся математика», « Повторяем весь школьный курс», « Алгебра 7 – 11».

Муниципальный конкурс исследовательских и творческих работ школьников

«Шаг в науку»

Секция МАТЕМАТИКИ

Тема : Нестандартные методы решения иррациональных

уравнений.

Нуждина Мария, МАОУ СОШ №2

10 класс, п. Карымское

Научный руководитель: Васильева Елена Валерьевна,

учитель математики

МАОУ СОШ №2, п. Карымское

п. Карымское, 2013

Аннотация………………………………………………………………….3

План исследования…………………………………………………….......4-5

Описание работы:

§1. Основные приемы решения иррациональных уравнений………………6-9

§2. Решение иррациональных уравнений методом замены неизвестного…10-14

§3. Иррациональные уравнения, сводимые к модулю ………….15-17

§4. Разложение на множители…………………………………………...…..18-19

§5. Уравнения вида ………………………………………20-22

§6. Теорема о среднем геометрическом в иррациональных уравнениях

; ……………………………23-24

4) Список литературы…………………………………………………….....25

Аннотация.

Тема нашей исследовательской работы: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений».

При выполнении работы было необходимо: сравнивать различные методы решения; переходить от общих методов к частным, и наоборот; аргументировать и доказывать выдвинутые утверждения; изучать и обобщать информацию, собранную из различных источников. В связи с этим можно выделить следующие методы исследовательской деятельности: эмпирическое; логическое и теоретическое (исследование); пошаговое; репродуктивное и эвристическое;

В результате проведенной работы получены следующие результаты и выводы :

Существует множество приемов для решения иррациональных уравнений;

Не все иррациональные уравнения решаются с помощью стандартных приемов;

Мы изучили часто встречающиеся замены, с помощью которых сложные иррациональные уравнения сводятся с простейшим;

Мы рассмотрели нестандартные приемы решения иррациональных уравнений

Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений»

Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.

План исследования.

Объектной областью , в которой мы проводили исследование, является алгебра. Объект исследования - решение уравнений. Среди множества уравнений мы рассмотрели иррациональные уравнения - предмет нашего исследования.

В школьном курсе алгебры рассматриваются только стандартные методы и приемы решения (возведенные в степень и простые приемы замены). Но в процессе исследования выяснилось, что существуют иррациональные уравнения, для решения которых стандартных приемов и методов недостаточно. Такие уравнения решаются с помощью других, более рациональных, методов.

Поэтому считаем, что изучение таких приемов решения - нужная и интересная работа.

В процессе исследования выяснилось, что иррациональных уравнений великое множество и сгруппировать их по видам и методам проблематично.

Целью исследования является изучение и систематизирование методов решения иррациональных уравнений.

Гипотеза : Если знать нестандартные методы решения иррациональных уравнений, то это позволит повысить качество выполнения некоторых олимпиадных и тестовых заданий ЕГЭ.

Для достижения поставленных целей и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи :

Охарактеризовать виды иррациональных уравнений.

Установить связи между видами и методами решения.

Оценить значение проверки и нахождения ОДЗ.

Рассмотреть нестандартные случаи при решении иррациональных уравнений (теорема о средней геометрической, свойства монотонности функций).

В процессе исследования было изучено множество учебных пособий таких авторов как М.И.Сканави,И.Ф.Шарыгина,О.Ю.Черкасова,А.Н.Рурукина,И.Т.Бородуля, а так же статьи из научно-теоретического и методического журнала «Математика в школе».

Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений»

Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.

Описание работы.

§1 Основные приемы решения иррациональных уравнений

Уравнение y(x)=0 является иррациональным, если функция y(x) содержит корни из неизвестной величины x или выражений, зависящих от x.

Многие иррациональные уравнения могут быть решены, основываясь только на понятиях корня и области допустимых значений уравнения (ОДЗ), но встречаются и другие методы, некоторые из них будут рассмотрены в работе.

Основным приемом решения иррациональных уравнений считается уединение в одной части уравнения радикала, последующее возведение обоих частей уравнения в соответствующую степень. Если таких радикалов несколько, то уравнение необходимо возводить в исходную степень неоднократно, кстати, при этом нет нужды заботиться о том, чтобы выражение, стоящее под знаком уединенного радикала, было бы неотрицательно.

Однако при возведении в четную степень могут возникнуть посторонние корни, то есть корни, не являющиеся решением исходного уравнения.

Поэтому при использовании такого приема решения, корни должны быть обязательно проверены и посторонние отброшены, в этом случае проверка является элементом решения и необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться. С другой стороны, иногда легче сделать проверку, чем доказывать, что она необходима.

Рассмотрим несколько примеров:

Ответ: корней нет

–посторонний корень

В этих примерах мы рассмотрели стандартные методы решения иррациональных уравнений(возведение обеих частей в степень и проверка корней).

Однако, многие иррациональные уравнения могут быть решены,

основываясь только на понятиях корня и ОДЗ уравнения.

Так как в уравнение входят радикалы только четных степеней, то достаточно решить систему неравенств.

3х -2х 2 +5 ≥0 (условия ОДЗ уравнения)

4х 2 -26х +40 ≥0

Решая эту систему неравенств получим:

х € Откуда х = 2,5.

х € (-∞ ; 2,5] ᴗ В)(0;1] Г) равно:

А) -12 Б) 12 В) -6 Г) -9 Д) 8

2. Сумма модулей корней уравнения-(√(5- x )√(5+x))+2=-1

равна:

А) 4 Б) 8 В)7 Г) 5 Д) 9

3. Корни уравнения x 4 =|(-|x|+1) 2 -1| принадлежат множеству:

А)(-1;1) Б) [-1;1] В){4;11} Г){-1;0;1} Д) (0;2]

4*.Значение а, при котором уравнение 2/  х=  а-  х  имеет три корня, относится к промежутку:

А) (3;+  ) Б) [–1;12] В)(-  ;1) Г) }