Как определить знаки на числовой прямой. Метод интервалов: решение простейших строгих неравенств
Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f(x) > 0. Алгоритм состоит из 5 шагов:
- Решить уравнение f(x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
- Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
- Найти кратность корней. Если корни четной кратности, то над корнем рисуем петлю. (Корень считается кратным, если существует четное количество одинаковых решений)
- Выяснить знак (плюс или минус) функции f(x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f(x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
- Отметить знаки на остальных интервалах, чередуя их.
После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f(x) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f(x) < 0.
В случае с нестрогими неравенствами(≤ , ≥) необходимо включить в интервалы точки, которые являются решением уравнения f(x) = 0;
Пример 1:
Решить неравенство:
(x - 2)(x + 7) < 0
Работаем по методу интервалов.
Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:
(x - 2)(x + 7) = 0
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
x - 2 = 0 => x = 2
x + 7 = 0 => x = -7
Получили два корня.
Шаг 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:
Шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000).
f(x) = (x - 2)(x + 7)
f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10
Получаем, что f(3) = 10 > 0 (10 - это положительное число), поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.
Шаг 4: нужно отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус. Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси.
Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:
(x - 2)(x + 7) < 0
Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.
Пример 2:
Решить неравенство:
(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0
Решение:
Для начала необходимо найти корни уравнения
(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0
Свернем первую скобку, получим:
(3x - 1) 2 (x - 2) = 0
x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0
Решив эти уравнения получим:
Нанесем точки на числовую прямую:
Т.к. x 2 и x 3 - кратные корни, то на прямой будет одна точка и над ней “петля ”.
Возьмем любое число меньшее самой левой точки и подставим в исходное неравенство. Возьмем число -1.
Не забываем включать решение уравнения (найденные X), т.к. наше неравенство нестрогое.
Ответ: {} U ∪[-6;4]∪\left\{6\right\}\)
Пример.
(Задание из ОГЭ)
Решите неравенство методом интервалов \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Решение:
|
\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\) |
Слева и справа есть одинаковые – это явно не случайно. Первое желание – поделить на \(-x^2-64\), но это ошибка, т.к. есть шанс потерять корень. Вместо этого перенесем \(64(-x^2-64)\) в левую сторону |
|
|
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\) |
||
|
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\) |
Вынесем минус в первой скобки и разложим на множители вторую |
|
|
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\) |
Обратите внимание: \(x^2\) либо равно нулю, либо больше нуля. Значит, \(x^2+64\) – однозначно положительно при любом значении икса, то есть это выражение никак не влияет на знак левой части. Поэтому можно смело делить обе части неравенства на это выражение. |
|
|
\((x-8)(x+8)≥0\) |
Теперь можно применять метод интервалов |
|
|
\(x=8;\) \(x=-8\) |
Запишем ответ |
Ответ : \((-∞;-8]∪; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
