В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых невозможно предсказать, результат которых зависит от случая. Теория вероятностей – это раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении. Основное понятие теории вероятностей - вероятность события (относительная частота события) - объективная мера возможности осуществления данного события.

События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D. Перечислим основные виды случайных событий :

• события называются несовместными , если никакие два из них не могут произойти в данном испытании (опыте) вместе. Например, при подбрасывании монеты появление цифры исключает одновременное появление герба;
• два события называются совместными , если появление одного из них не исключает появление другого события в том же испытании (опыте);
• событие называется достоверным , если оно происходит в данном испытании обязательно. Например, выигрыш по билету беспроигрышной лотереи есть событие достоверное;
• событие называется невозможным , если оно в данном испытании не может произойти. Например, при бросании игральной кости невозможно получить 7 очков;
• два события называются противоположными (А и А̄), если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1;
• событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В: Р А (В)= Р(В). В противном случае событие В называется зависимым от события А;

Полной системой событий А 1 , А 2 , А 3 , …, Аn называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании (опыте).

Каждому событию A ставится в соответствие некоторая мера P(A), которая называется вероятностью этого события и которая удовлетворяет следующим аксиомам:

• для любого события 0 ≤ P(A) ≤ 1;
• вероятность невозможного события равна нулю, P(А)=0;
• вероятность достоверного события равна единице, Р(А)=1.

Существует классический и геометрический способы подсчета вероятности события.

При классическом способе подсчета вероятность события А вычисляется по формуле: Р(А)=m/n , где:

• все элементарные исходы равновозможны, т.е. ни один из них не является более возможным, чем другой;
• m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А;
• n – общее число всех возможных элементарных исходов испытания.

Для подсчета n и m часто применяются понятия и формулы комбинаторики :

• n-факториал – это произведение всех натуральных чисел от единицы до n включительно: n! = 1*2*3*…*(n-1)*n . Например: 4!=1*2*3*4=24, 1!=1, 0!=1
• перестановка из n элементов – комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Число всех возможных перестановок вычисляют по формуле: P n = n!
• перестановка с повторениями – пусть даны n 1 элементов первого типа, n 2 - второго типа, ..., n k - k-го типа, всего n элементов. Способы разместить их по различным местам называются перестановками с повторениями. Число всех перестановок с повторениями вычисляют по формуле: Pn(n 1 ,n 2 ,…,n k) = n! / n 1 !n 2 !...n k !
• размещения – комбинации из n элементов по m (mА n m = n!/(n-m)! , где
  n – число всех имеющихся элементов, m- число элементов в каждой комбинации.
  При n=m размещение становится перестановкой. Если не принимать во внимание порядок элементов в размещении, а учитывать только его состав, то получается сочетание.
• сочетания – все возможные комбинации из n элементов по m (mС n m = n! / m!(n-m)! = А n m / P m

Геометрический способ подсчета вероятности применяется, когда элементарные исходы эксперимента могут быть интерпретированы как точки отрезка, фигуры или тела.

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством: Р = Длина l / Длина L .

Вероятность попадания точки в плоскую фигуру g, составляющую часть плоской фигуры G: Р = Площадь g/Площадь G .

Вероятность попадания точки в пространственную фигуру υ, которая составляет часть фигуры V: Р = Объем υ /Объем V .

Примеры решения задач по теме «Элементы комбинаторики. События и их вероятности»

Задача 1

В 11-м классе 30 человек. 18 человек изучают английский язык, 16 – немецкий, 9 – оба языка. Сколько человек изучают а) только английский язык, б) только немецкий язык, в) не изучают ни одного языка?

Решение.
а) поскольку 18 человек изучают английский, из них 9 изучают и английский и немецкий, то 18–9=9 человек изучают только английский язык;
б) поскольку 16 человек изучают немецкий, из них 9 изучают и немецкий и английский, то 16–9=7 человек изучают только немецкий язык;
в) поскольку в классе 30 человек, из них 9 изучают только английский, 7 – только немецкий, 9 – оба языка, то 30 – (9+7+9) = 5 человек не изучают ни одного языка.

Задача 2

Сколькими способами можно переставить буквы в слове «фикус»?

Решение. В данном случае необходимо найти число перестановок из 5 букв, а поскольку в слове «фикус» все буквы разные, то число перестановок определяем по формуле: P 5 =5!=1*2*3*4*5=120.

Задача 3

Сколькими способами можно переставить буквы в слове «ответ»?

Решение. Необходимо найти число перестановок из 5 букв, но в отличие от задачи 2, здесь имеются повторяющиеся буквы – буква «т» повторяется дважды. Поэтому число способов определим по формуле перестановок с повторениями: P 5 (1, 2, 1, 1) = 5! / 2! = 60.

Задача 4

В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете учащемуся не достанется вопрос по производной.

Решение. В данном случае число благоприятных исходов равно (25-10)=15, общее число событий – 25.
Вероятность события А = {учащемуся не достанется вопрос по производной} находим как отношение: Р(А)=15/25=0,6.

Задача 5

В ящике имеется 15 деталей, среди которых 8 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

Решение. Событие А = {извлечены три окрашенных детали}.

Общее число всех возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 15:
n = С 15 3 =15! / 3!(15-3)!=15! / (3!*12!) = 13*7*5=455.
Число благоприятных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 8 окрашенных:
m = С 8 3 =8! / 3!(8-3)!= 8! / (3!*5!)=7*8=56.

Вероятность события А находим как отношение: Р(А) = m/n= 56/455≈0,12

Задача 6

Среди 17 студентов группы, из которых 8 – девушки, разыгрывается 7 билетов в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки и 3 юношей?

Решение. Событие А = {среди обладателей билетов ровно 4 девушки} .

Общее число возможных элементарных исходов розыгрыша равно числу способов, которыми можно выбрать 7 человек из всех студентов группы, т. е. из 17: n = С 17 7 =17! / 7!(17-7)!= 17! / (7!*10!)=19448.

Число благоприятных исходов (среди 7 обладателей билетов 4 девушки и 3 юношей) найдем, учитывая, что 4-х девушек их 8 можно выбрать С 8 4 способами, а 3-х юношей из 9 можно выбрать С 9 3 способами. Следовательно, m = С 8 4 *С 9 3 = 8!9! / 4!(8-4)!3!(9-3)! = 5880.

Вероятность события А находим как отношение: Р(А) = m/n= 5880/19448≈0,3

Тема 5: Элементы теории вероятностей

Ни телеграммы нету, ни письма.

Но есть игра случайности слепой.

И если просто выйдешь на перрон,

То кто-нибудь приедет непременно.

В. Незвал

Введение

Все мы довольно часто говорим «это невероятно», «более вероятно, что...», «это маловероятно», «можно утверждать со стопроцентной вероятностью, что...», когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом обычно опираемся на интуицию, жизненный опыт, здравый смысл и т.п. Но очень часто такие приблизительные оценки оказываются недостаточными: бывает важно знать, на сколько или во сколько раз совершение одного случайного события вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные оценки, надо уметь численно характеризовать возможность наступления того или иного события. Раздел математики, посвященный исследованию количественных оценок случайных событий, называется теорией вероятностей.

Ее основателями считают Пьера Ферма и Блеза Паскаля. Эти французские ученые XVII века первыми нашли ключ к составлению количественной оценки вероятности события. Они использовали метод, который позже был назван комбинаторным анализом, или, проще, комбинаторикой.

Однако мы не будем сейчас говорить ни о предмете, ни о содержании теории вероятностей и комбинаторики, а просто приведем пример, который иллюстрирует все вышесказанные слова.

Начальник написал 10 различных писем и поручил своему помощнику надписать 10 конвертов с нужными адресами. Тот так и сделал, но дальнейшее перепоручил секретарше. Она выполнила это ответственное задание формально, то есть разложила письма по конвертам, не обращая внимания на адреса. Какова вероятность того, что ни одно письмо не попало в нужный конверт? Ответ оказывается на удивление большим: вероятность такой масштабной ошибки превышает 36%!

Случайные события и их вероятности

Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием .

Например, многократное подбрасывание монеты, процесс изготовления какой-либо детали представляют собой испытания.

Результат этого действия или наблюдения будем называть событием .

Например, появление цифры при подбрасывании монеты, попадание в мишень при выстреле являются событиями.

Если нас интересует какое-либо определенное событие из всех возможных, то будем называть его искомым .

События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита.

Во многих играх используют игральный кубик. У кубика 6 граней, на каждой грани отмечено различное количество точек – от 1 до 6. Играющий бросает кубик и смотрит, сколько точек имеется на выпавшей грани (на той грани, которая располагается сверху). Довольно часто точки на грани кубика заменяют соответствующим числом и тогда говорят о выпадении 1, 2 или 6. Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием, а полученный результат – исходом испытания или элементарным событием. Людям интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик? Например, такие:

1) событие А - выпадет цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6;

2) событие В - выпадет цифра 7, 8 или 9;

3) событие С - выпадет цифра 1.

Событие А, предсказанное в первом случае, обязательно наступит. Вообще, событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием .

Событие 5, предсказанное во втором случае, никогда не наступит, это просто невозможно. Вообще, событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием .

А как вы думаете, событие С, предсказанное в третьем случае, наступит или не наступит? На этот вопрос мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку 1 может выпасть, а может и не выпасть. Событие, которое в данном опыте может как наступить, так и не наступить, называют случайным событием .

Один из основателей математической статистики, шведский ученый Харальд Крамер писал: «По-видимому, невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом "случайный". Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах».

Мы последуем этому совету.

Пример 1 . Все двузначные числа написаны на карточках. Петя случайным образом выбрал одну карточку. Охарактеризуйте как достоверные, невозможные или случайные следующие события:

а) событие А – на выбранной карточке оказалось простое число;

б) событие В – на карточке оказалось составное число;

в) событие С – на карточке оказалось число, не являющееся ни простым, ни составным;

г) событие D – на карточке оказалось четное или нечетное число.

Решение . События А и В случайные, так как они могут произойти, а могут и не произойти. Событие С невозможно: вспомните определение простого и составного числа. Событие D достоверно, так как любое двузначное число или четно, или нечетно.

Думая про наступление достоверного события, вы слово «вероятно» использовать, скорее всего, не будете. Например, если сегодня среда, то завтра четверг, это – достоверное событие. Вы в среду не станете говорить: «Вероятно, завтра четверг», вы скажете коротко и ясно: «Завтра четверг». Правда, если вы склонны к красивым фразам, то можете сказать так: «Со стопроцентной вероятностью утверждаю, что завтра четверг». Напротив, если сегодня среда, то наступление назавтра пятницы – невозможное событие. Оценивая это событие в среду, вы можете сказать так: «Уверен, что завтра не пятница». Или так: «Невероятно, что завтра пятница». Ну а если вы склонны к красивым фразам, то можете сказать так: «Вероятность того, что завтра пятница, равна нулю». Итак, достоверное событие – это событие, наступающее при данных условиях со стопроцентной вероятностью (т. е. наступающее в 10 случаях из 10, в 100 случаях из 100 и т. д.). Невозможное событие – это событие, не наступающее при данных условиях никогда, событие с нулевой вероятностью.

Но, к сожалению (а может быть, и к счастью), не все в жизни так четко и ясно: это будет всегда (достоверное событие), этого не будет никогда (невозможное событие). Чаще всего мы сталкиваемся именно со случайными событиями, одни из которых более вероятны, другие менее вероятны. Обычно люди используют слова «более вероятно» или «менее вероятно», как говорится, по наитию, опираясь на то, что называют здравым смыслом. Но очень часто такие оценки оказываются недостаточными, поскольку бывает важно знать, на сколько процентов вероятно случайное событие или во сколько раз одно случайное событие вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные характеристики, нужно уметь охарактеризовать вероятность числом.

Первые шаги в этом направлении мы с вами уже сделали. Мы говорили, что вероятность наступления достоверного события характеризуется как стопроцентная, а вероятность наступления невозможного события – как нулевая. Учитывая, что 100% равно 1, люди договорились о следующем:

1) вероятность достоверного события считается равной 1;

2) вероятность невозможного события считается равной 0.

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь оно произошло случайно, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам, формулам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности. Этим занимается раздел математики, который так и называется – теория вероятностей.

Проведем следующий опыт. Будем бросать игральный кубик (100 раз) и результат записывать в таблицу.

	т	п	р
			0,19
			0,14
			0,2
			0,14
			0,22
			0,11

Число т означает количество исходов бросания, в которых выпало число очков, указанное в соответствующей строке. Число п – это общее число бросаний кубика (испытаний). Число р называется абсолютной частотой события и находится по формуле: . Если мы продолжим бросать игральный кубик, то можем заметить, что абсолютные частоты для событий «выпадет 1 », «выпадет 2 »… «выпадет 6 » будут становиться примерно одинаковыми, т.е. стремиться к числу 0,1666… = . Абсолютную частоту случайного события называют еще опытной или статистической вероятностью события.

Часто бывает так, что многократное повторение одного и того же опыта невозможно. В этом случае приходит на помощь, так называемая классическая , или доопытная вероятность .

КЛАССИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ СХЕМА: Для нахождения вероятности события А при проведении некоторого опыта следует:

1) найти число N всех возможных исходов данного опыта;

2) принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;

3) найти количество N(А) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;

4) найти частное , оно и будет равно вероятности события А.

Принято вероятность события А обозначать: Р(А). Объяснение такого обозначения очень простое: слово «вероятность» по-французски – probabilite, по-английски – probability. В обозначении используется первая буква слова.

Используя это обозначение, вероятность события А по классической схеме можно найти с помощью формулы .

Часто все пункты приведенной классической вероятностной схемы выражают одной довольно длинной фразой.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех равновозможных между собой исходов этого испытания.

Пример 2. Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет: а) 4; б) 5; в) четное число очков; г) число очков, большее 4; д) число очков, не кратное трем.

Решение. Всего имеется N = 6 возможных исходов: выпадение грани куба с числом очков, равным 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Мы считаем, что ни один из них не имеет никаких преимуществ перед другими, т. е. принимаем предположение о равновероятности этих исходов.

а) Ровно в одном из исходов произойдет интересующее нас событие А – выпадение числа 4. Значит, N(А) = 1 и .

б) Решение и ответ такие же, как и в предыдущем пункте.

в) Интересующее нас событие В произойдет ровно в трех случаях, когда выпадет число очков 2, 4 или 6. Значит, N(B) = 3 и .

г) Интересующее нас событие С произойдет ровно в двух случаях, когда выпадет число очков 5 или 6. Значит, д) Из шести возможных выпавших чисел четыре (1, 2, 4, и 5) не кратны трем, а остальные два (3 и 6) делятся на три. Значит, интересующее нас событие наступает ровно в четырех из шести возможных и равновероятных между собой исходах опыта. Поэтому в ответе получается .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Реальный игральный кубик вполне может отличаться от идеального (модельного) кубика, поэтому для описания его поведения требуется более точная и детальная модель, учитывающая преимущества одной грани перед другой, возможное наличие магнитов и т. п. Но «дьявол кроется в деталях», а большая точность ведет, как правило, к большей сложности, и получение ответа становится проблемой. Мы же ограничиваемся рассмотрением простейшей вероятностной модели, где все возможные исходы равновероятны.

Замечание 1. Рассмотрим еще пример. Был задан вопрос: «Какова вероятность выпадения тройки при одном бросании кубика?» Ученик ответил так: «Вероятность равна 0,5». И объяснил свой ответ: «Тройка или выпадет, или нет. Значит, всего есть два исхода и ровно в одном наступает интересующее нас событие. По классической вероятностной схеме получаем ответ 0,5». Есть в этом рассуждении ошибка? На первый взгляд – нет. Однако она все же есть, причем в принципиальном моменте. Да, действительно, тройка или выпадет, или нет, т. е. при таком определении исхода бросания N = 2. Правда и то, что N(А) = 1 и уж, разумеется, верно, что = 0,5, т.е. три пункта вероятностной схемы учтены, а вот выполнение пункта 2) вызывает сомнения. Конечно, с чисто юридической точки зрения, мы имеем право считать, что выпадение тройки равновероятно ее невыпадению. Но вот можем ли мы так считать, не нарушая свои же естественные предположения об «одинаковости» граней? Конечно, нет! Здесь мы имеем дело с правильным рассуждением внутри некоторой модели. Только вот сама эта модель «неправильная», не соответствующая реальному явлению.

Замечание 2 . Рассуждая о вероятности, не упускайте из виду следующее важное обстоятельство. Если мы говорим, что при бросании кубика вероятность выпадения одного очка равна , это совсем не значит, что, кинув кубик 6 раз, вы получите одно очко ровно один раз, бросив кубик 12 раз, вы получите одно очко ровно два раза, бросив кубик 18 раз, вы получите одно очко ровно три раза и т. д. Слово вероятно носит предположительный характер. Мы предполагаем, что, скорее всего, может произойти. Вероятно, если мы бросим кубик 600 раз, одно очко выпадет 100 раз или около 100. Если у вас будет время и желание, проведите эксперимент: бросьте игральный кубик, например, 60 раз и составьте таблицу выпадений очков 1, 2, 3, 4, 5, 6. Скорее всего (вероятнее всего), все числа в вашей таблице будут около 10.

Пример 3. Найти вероятность того, что при двукратном бросании игрального кубика произведение выпавших очков будет: а) кратно 5; б) кратно 6.

Решение . При каждом из двух бросаний кубика возможны 6 исходов. Предполагается, что эти два испытания независимы друг от друга. По правилу умножения получаем, что данный опыт имеет 6 6 = 36 исходов. Будем действовать по классической вероятностной схеме, т. е. считать, что все N = 36 исходов равновероятны между собой.

Все 36 исходов можно перечислить. Например, с помощью таблицы. В данном случае все исходы – это пары (1; 1), (1; 2), ..., (1; 6), (2; 1), (2; 2), ..., (6; 5), (6; 6).

а) Если на первом месте стоит 5, то при любой второй цифре их произведение кратно 5. Получается шесть вариантов: (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6). Еще шесть вариантов получается, если 5 стоит на втором месте. Так как 5 – простое число, то других вариантов нет.

Вроде бы, ответ 6 + 6 = 12. Но один результат (5; 5) мы посчитали дважды. Значит, интересующее нас событие А наступает ровно в 11 из возможных 36 равновероятных между собой исходах, т. е. N(А) = 11, поэтому .

б) Если на первом или на втором месте стоит 6, то произведение выпавших чисел делится на 6, а всего таких вариантов, как и в случае а), будет 11. Но произведение выпавших чисел будет кратно 6 в тех случаях, когда одно из чисел, отличных от 6, - четное, а другое кратно 3. Перечислим благоприятные варианты: (2; 3), (4; 3), (3; 2), (3; 4) – всего 4 варианта. Добавив их к указанным выше 11 вариантам, получим 15 благоприятных исходов, т.е. N(А) = 15. Значит, .

Ответ: а) , б) .

Задачи на отыскание вероятностей случайных событий «в два с половиной раза» сложнее задач по комбинаторике. Сначала мы используем комбинаторику при нахождении N – количества всех исходов опыта. Во второй раз комбинаторика нужна при нахождении N(А). При этом во второй раз – это уже более сложная комбинаторика. Наконец, надо еще уметь вычислить значение дроби. Вот и получается «две с половиной комбинаторики».

Теория вероятностей возникла в XVII веке при анализе различных азартных игр. Неудивительно поэтому, что первые примеры носят игровой характер. От примеров с игральными кубиками перейдем к случайному вытаскиванию игральных карт из колоды.

Пример 4. Из колоды в 36 карт случайным образом одновременно вытаскивают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них нет пиковой дамы?

Решение. У нас имеется множество из 36 элементов. Мы производим выбор трех элементов, порядок которых не важен. Значит, возможно, получение N = исходов. Будем действовать по классической вероятностной схеме, т. е. предположим, что все эти исходы равновероятны.

Среди всех N = исходов нам следует сосчитать те, в которых нет пиковой дамы (событие А). Отложим даму пик в сторону, и из оставшихся 35 карт будем выбирать 3 карты. Получатся все интересующие нас варианты. Значит, N(А) = .

Осталось вычислить нужную вероятность по классическому определению:

А чему равна вероятность того, что среди выбранных трех карт есть пиковая дама? Число всех таких исходов нетрудно посчитать, надо просто из всех исходов N вычесть все те исходы, в которых дамы пик нет, т. е. вычесть найденное в примере 4 число N(А) . Затем эту разность N – N(А) в соответствии с классической вероятностной схемой следует поделить на N . Вот что получим: .

Мы видим, что между вероятностями двух событий имеется определенная связь. Если событие А заключается в отсутствии дамы пик, а событие В состоит в ее наличии среди выбранных трех карт, то

Р(В) = 1 – Р(А)

Р(А) + Р(В) = 1.

К сожалению, в равенстве Р(А) + Р(В) = 1 нет никакой информации о связи событий А и В между собой; эту связь нам приходится держать в уме. Удобнее было бы заранее дать событию В название и обозначение, явно указывающие на его связь с А.

Определение 1. Событие В называют противоположным событию А и обозначают В = , если событие В происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

ТЕОРЕМА 1. Для нахождения исходов. Будем действовать по классической вероятностной схеме, т. е. предположим, что все эти исходы равновероятны между собой.

Если А – интересующее нас событие, то противоположное ему событие состоит в том, что среди выбранных пяти карт нет ни одной карты бубновой масти. Но это значит, что все 5 карт выбраны из других карточных мастей, т. е. из 36 - 9 = = 27 карт. Значит, N(А) = и можно легко найти вероятность события А : .

Теперь по теореме находим вероятность самого события А: Р(А) = 1 - Р() ≈ 0,786.

Как видим, вероятность довольна высока. Кстати, полезное напоминание: без калькулятора вычислить вероятность более или менее сложного события бывает затруднительно.

Ответ: ≈ 0,786.

В теории вероятностей используются различные стандартные игровые ситуации. Это бросание монеты или игрального кубика, вытаскивание карт из колоды. К этому списку добавим еще одну, назовем ее «урновая схема»: в темном ящике (урне) лежат неотличимые на ощупь шары различного цвета. Один или несколько шаров вытаскивают. Вычисляют вероятность того, что выбранные шары имеют какой-то определенный набор цветов.

Пример 6. В урне лежат 10 белых и 11 рыжих шаров. Случайным образом достают 5 шаров. Какова вероятность того, что среди этих 5 шаров ровно 3 белых?

Решение. Шары в урне предполагаем неразличимыми, из 21 шара случайным образом производят выбор 5 шаров, причем порядок выбора не важен. Значит, существует N = способов такого выбора. Считаем все эти способы равновероятными.

Интересующее нас событие А наступает, когда 3 из 5 шаров – белые, а 2 – рыжие. Из 10 белых шаров, имеющихся в урне, 3 шара можно выбрать способами, а из 11 рыжих шаров 2 шара – способами. Выбор разноцветных шаров считаем независимым. По правилу умножения получаем, что нужный нам состав шаров можно выбрать N(А) = способами. Остается посчитать вероятность.

(почти одна треть).

Ответ: ≈ 0,324.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-08

Случайное событие –

Два события несовместны,

Теория вероятностей

Алгебра случайных событий, диаграммы Вьенна-Эйлера.

Сумма событий А и В называется такое событие, которое происходит, когда происходит либо А, либо В, либо оба события.

Произведением А и В называется событие, которое происходит, если в опыте происходят оба события.

Событием Ā, противоположное событию А называется событие, которое происходит всякий раз, когда не наступает событие А.

A\B (дополнение А до В) – происходит А, но не происходит В

Классическое определение вероятности. Комбинаторика.

– классическое определение вероятности.

m – общее число исходов

n – число исходов, благоприятствующих наступлению события А..

Комбинаторика – раздел математики, изучающий расположение объектов в соответствии со специальными правилами и подсчитывает количество способов таких расположений. Комбинаторика возникла в 18 веке. Рассматривается как раздел теории множеств.

Аксиоматическое построение теории вероятностей.

Аксиома 1. «аксиома неотрицательности» P(A)≥0

Аксиома 2. «аксиома нормированности» P(Ω)=1

Аксиома 3. «аксиома аддитивности» Если события А и В несовместны (АВ=Ø), то P(A+B)=P(A)+P(B)

Теорема о вероятности суммы событий.

Для любых событий Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) (док-во в лекции)

Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теоремы о вероятности произведения событий.

Р(А|В) – вероятность события А, если событие В уже произошло – условная вероятность.

Событие А называют независимым , от события В, если вероятность события А не меняется в зависимости от того, происходит или нет событие В.

Теорема умножения вероятностей: Р(АВ) = Р(А|В)·Р(В) = Р(В|А)·Р(А)

Теорема умножения вероятностей независимых событий: Р(АВ) = Р(А)·Р(В)

По определению условной вероятности,

Формула полной вероятности.

Есть события Н 1 , Н 2 ,….,Н n попарно несовместные и образуют полную группу. Такие события называют гипотезами . Пусть есть некоторое событие А. А=АН 1 +АН 2 +…+АН n (слагаемые этой суммы попарно несовместны).

Формула Байеса.

Н 1 , Н 2 ,….,Н n A

Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.

Пусть проводится конечное число n последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может либо наступить «успех», либо не наступить «неудача», причем эти испытания удовлетворяют следующим условиям:

· Каждое испытание случайно относительно события А.т.е. до проведения испытания нельзя сказать, появится А или нет;

· Испытания проводятся в одинаковых с вероятностной точки зрения условиях, т.е. вероятность успеха в каждом отдельно взятом испытании равна р и не меняется от испытания к испытанию;

· Испытания независимы, т.е. исход любого из них никак не влияет ни исходы других испытаний.

Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли или биноминальной схемой, а сами испытания – испытаниями Бернулли.

Для расчета вероятности Р n (к) того, что в серии из n испытаний Бернулли окажется ровно k успешных, применяется формула Бернулли: (k = 0,1,2,…n).

10. Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина, способы ее задания: ряд распределения.

Случайной величиной называется величина, которая в каждом испытании (при каждом наблюдении) принимает одно из множества своих возможных значений, заранее не известно, какое.

Дискретная с.в. – с.в., множество возможных значений которой конечно или счетно.

Ряд распределения с.в. (ряд распределения вероятности). График ряда распределения задается многоугольником распределения – ломанная, которая соединяет точки с координатами (x i ,p i)

X	x 1	x 2	x 3	…	x k	…
P	p 1	p 2	p 3	…	p k	…

Закон распределения с.в.: p k =P({X=x k })

Случайные события, их классификация. Понятие вероятности.

Случайное событие – событие, которое в условиях опыта оно может произойти, а может и не произойти. Причем заранее неизвестно, произойдет оно или нет.

Два события несовместны, если появление одного из них исключает появление другого в том же опыте.

Теория вероятностей изучает закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Основные понятия теории вероятностей были заложены в переписке Паскалем и Ферма. Эти понятия зародились в результате попыток математически описать азартные игры.

Вряд ли многие люди задумываются, можно ли просчитать события, которые в той или иной мере случайны. Выражаясь простыми словами, реально ли узнать, какая сторона кубика в выпадет в следующий раз. Именно этим вопросом задались два великих ученых, положившие начало такой науке, как теория вероятности, вероятность события в которой изучается достаточно обширно.

Зарождение

Если попытаться дать определение такому понятию, как теория вероятности, то получится следующее: это один из разделов математики, который занимается изучением постоянства случайных событий. Ясное дело, данное понятие толком не раскрывает всю суть, поэтому необходимо рассмотреть ее более детально.

Хотелось бы начать с создателей теории. Как было выше упомянуто, их было двое, это и Именно они одни из первых попытались с использованием формул и математических вычислений просчитать исход того или иного события. В целом же зачатки этой науки проявлялись еще в средневековье. В то время разные мыслители и ученые пытались проанализировать азартные игры, такие как рулетка, кости и так далее, тем самым установить закономерность и процентное соотношение выпадения того или иного числа. Фундамент же был заложен в семнадцатом столетии именно вышеупомянутыми учеными.

Поначалу их труды нельзя было отнести к великим достижениям в этой области, ведь все, что они сделали, это были попросту эмпирические факты, а опыты ставились наглядно, без использования формул. Со временем получилось добиться больших результатов, которые появились вследствие наблюдения за бросанием костей. Именно этот инструмент помог вывести первые внятные формулы.

Единомышленники

Нельзя не упомянуть о таком человеке, как Христиан Гюйгенс, в процессе изучения темы, носящей название "теория вероятности" (вероятность события освещается именно в этой науке). Данная персона очень интересна. Он, так же как и представленные выше ученые, пытался в виде математических формул вывести закономерность случайных событий. Примечательно, что делал он это не совместно с Паскалем и Ферма, то есть все его труды никак не пересекались с этими умами. Гюйгенс вывел

Интересен тот факт, что его работа вышла задолго до результатов трудов первооткрывателей, а точнее, на двадцать лет раньше. Среди обозначенных понятий известнее всего стали:

• понятие вероятности как величины шанса;
• математическое ожидание для дискретных случаев;
• теоремы умножения и сложения вероятностей.

Также нельзя не вспомнить который тоже внес весомый вклад в изучении проблемы. Проводя свои, ни от кого не зависящие испытания, он сумел представить доказательство закона больших чисел. В свою очередь, ученые Пуассон и Лаплас, которые работали в начале девятнадцатого столетия, смогли доказать изначальные теоремы. Именно с этого момента для анализа ошибок в ходе наблюдений начали использовать теорию вероятностей. Стороной обойти данную науку не смогли и русские ученые, а точнее Марков, Чебышев и Дяпунов. Они, исходя из проделанной работы великих гениев, закрепили данный предмет в качестве раздела математики. Трудились эти деятели уже в конце девятнадцатого столетия, и благодаря их вкладу, были доказаны такие явления, как:

• закон больших чисел;
• теория цепей Маркова;
• центральная предельная теорема.

Итак, с историей зарождения науки и с основными персонами, повлиявшими на нее, все более или менее понятно. Сейчас же пришло время конкретизировать все факты.

Основные понятия

Перед тем как касаться законов и теорем, стоит изучить основные понятия теории вероятностей. Событие в ней занимает главенствующую роль. Данная тема довольно объемная, но без нее не удастся разобраться во всем остальном.

Событие в теории вероятности - этолюбая совокупность исходов проведенного опыта. Понятий данного явления существует не так мало. Так, ученый Лотман, работающий в этой области, высказался, что в данном случае речь идет о том, что «произошло, хотя могло и не произойти».

Случайные события (теория вероятности уделяет им особое внимание) - это понятие, которое подразумевает абсолютно любое явление, имеющее возможность произойти. Или же, наоборот, этот сценарий может не случиться при выполнении множества условий. Также стоит знать, что захватывают весь объем произошедших явлений именно случайные события. Теория вероятности указывает на то, что все условия могут повторяться постоянно. Именно их проведение получило название "опыт" или же "испытание".

Достоверное событие - это то явление, которое в данном испытании на сто процентов произойдет. Соответственно, невозможное событие - это то, которое не случится.

Совмещение пары действий (условно случай A и случай B) есть явление, которое происходит одновременно. Они обозначаются как AB.

Сумма пар событий А и В - это С, другими словами, если хотя бы одно из них произойдет (А или В), то получится С. Формула описываемого явления записывается так: С = А + В.

Несовместные события в теории вероятности подразумевают, что два случая взаимно исключают друг друга. Одновременно они ни в коем случае не могут произойти. Совместные события в теории вероятности - это их антипод. Здесь подразумевается, что если произошло А, то оно никак не препятствует В.

Противоположные события (теория вероятности рассматривает их очень подробно) просты для понимания. Лучше всего разобраться с ними в сравнении. Они почти такие же, как и несовместные события в теории вероятности. Но их отличие заключается в том, что одно из множества явлений в любом случае должно произойти.

Равновозможные события - это те действия, возможность повтора которых равна. Чтобы было понятней, можно представить бросание монеты: выпадение одной из ее сторон равновероятно выпадению другой.

Благоприятствующее событие легче рассмотреть на примере. Допустим, есть эпизод В и эпизод А. Первое - это бросок игрального кубика с появлением нечетного числа, а второе - появление числа пять на кубике. Тогда получается, что А благоприятствует В.

Независимые события в теории вероятности проецируются только на два и больше случаев и подразумевают независимость какого-либо действия от другого. Например, А - выпадение решки при бросании монеты, а В - доставание валета из колоды. Они и есть независимые события в теории вероятности. С этим моментом стало понятнее.

Зависимые события в теории вероятности также допустимы лишь для их множества. Они подразумевают зависимость одного от другого, то есть явление В может произойти только в том случае, если А уже произошло или же, наоборот, не произошло, когда это - главное условие для В.

Исход случайного эксперимента, состоящего из одного компонента, - это элементарные события. Теория вероятности поясняет, что это такое явление, которое совершилось лишь единожды.

Основные формулы

Итак, выше были рассмотрены понятия "событие", "теория вероятности", определение основным терминам этой науки также было дано. Сейчас же пришло время ознакомиться непосредственно с важными формулами. Эти выражения математически подтверждают все главные понятия в таком непростом предмете, как теория вероятности. Вероятность события и здесь играет огромную роль.

Начать лучше с основных И перед тем как приступить к ним, стоит рассмотреть, что это такое.

Комбинаторика - это в первую очередь раздел математики, он занимается изучением огромного количества целых чисел, а также различных перестановок как самих чисел, так и их элементов, различных данных и т. п., ведущих к появлению ряда комбинаций. Помимо теории вероятности, эта отрасль важна для статистики, компьютерной науки и криптографии.

Итак, теперь можно переходить к представлению самих формул и их определению.

Первой из них будет выражение для числа перестановок, выглядит оно следующим образом:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Применяется уравнение только в том случае, если элементы различаются лишь порядком расположения.

Теперь будет рассмотрена формула размещения, выглядит она так:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Это выражение применимо уже не только лишь к порядку размещения элемента, но и к его составу.

Третье уравнение из комбинаторики, и оно же последнее, называется формулой для числа сочетаний:

C_n^m = n ! : ((n - m))! : m !

Сочетанием называются выборки, которые не упорядочены, соответственно, к ним и применяется данное правило.

С формулами комбинаторики получилось разобраться без труда, теперь можно перейти к классическому определению вероятностей. Выглядит это выражение следующим образом:

В данной формуле m - это число условий, благоприятствующих событию A, а n - число абсолютно всех равновозможных и элементарных исходов.

Существует большое количество выражений, в статье не будут рассмотрены все, но затронуты будут самые важные из них такие, как, например, вероятность суммы событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) - эта теорема для сложения только несовместных событий;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - а эта для сложения только совместимых.

Вероятность произведения событий:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - эта теорема для независимых событий;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - а эта для зависимых.

Закончит список формула событий. Теория вероятностей рассказывает нам о теоремеБайеса, которая выглядит так:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,...,n

В данной формуле H 1 , H 2 , …, H n - это полная группа гипотез.

Примеры

Если тщательно изучить любой раздел математики, в нем не обходится без упражнений и образцов решений. Так и теория вероятности: события, примеры здесь являются неотъемлемым компонентом, подтверждающим научные выкладки.

Формула для числа перестановок

Допустим, в карточной колоде есть тридцать карт, начиная с номинала один. Далее вопрос. Сколько есть способов сложить колоду так, чтобы карты с номиналом один и два не были расположены рядом?

Задача поставлена, теперь давайте перейдем к ее решению. Для начала нужно определить число перестановок из тридцати элементов, для этого берем представленную выше формулу, получается P_30 = 30!.

Исходя из этого правила, мы узнаем, сколько есть вариантов сложить колоду по-разному, но нам необходимо вычесть из них те, в которых первая и вторая карта будут рядом. Для этого начнем с варианта, когда первая находится над второй. Получается, что первая карта может занять двадцать девять мест - с первого по двадцать девятое, а вторая карта со второго по тридцатое, получается всего двадцать девять мест для пары карт. В свою очередь, остальные могут принимать двадцать восемь мест, причем в произвольном порядке. То есть для перестановки двадцати восьми карт есть двадцать восемь вариантов P_28 = 28!

В итоге получается, что если рассматривать решение, когда первая карта находится над второй, лишних возможностей получится 29 ⋅ 28! = 29!

Используя этот же метод, нужно вычислить число избыточных вариантов для того случая, когда первая карта находится под второй. Получается также 29 ⋅ 28! = 29!

Из этого следует, что лишних вариантов 2 ⋅ 29!, в то время как необходимых способов сбора колоды 30! - 2 ⋅ 29!. Остается только лишь посчитать.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Теперь нужно перемножать между собой все числа от одного до двадцати девяти, после чего в конце умножить все на 28. Ответ получается 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Решение примера. Формула для числа размещения

В данной задаче необходимо выяснить, сколько есть способов, чтобы поставить пятнадцать томов на одной полке, но при условии, что всего томов тридцать.

В этой задаче решение немного проще, чем в предыдущей. Используя уже известную формулу, необходимо вычислить суммарное число расположений из тридцати томов по пятнадцать.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Ответ, соответственно, будет равен 202 843 204 931 727 360 000.

Теперь возьмем задачу чуть сложнее. Необходимо узнать, сколько есть способов расставить тридцать книг на двух книжных полках, при условии, что на одной полке могут находиться лишь пятнадцать томов.

Перед началом решения хотелось бы уточнить, что некоторые задачи решаются несколькими путями, так и в этой есть два способа, но в обоих применена одна и та же формула.

В этой задаче можно взять ответ из предыдущей, ведь там мы вычислили, сколько раз можно заполнить полку на пятнадцать книг по-разному. Получилось A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Вторую же полку рассчитаем по формуле перестановки, ведь в нее помещается пятнадцать книг, в то время как всего остается пятнадцать. Используем формулу P_15 = 15!.

Получается, что в сумме будет A_30^15 ⋅ P_15 способов, но, помимо этого, произведение всех чисел от тридцати до шестнадцати надо будет умножить на произведение чисел от одного до пятнадцати, в итоге получится произведение всех чисел от одного до тридцати, то есть ответ равен 30!

Но эту задачу можно решить и по-иному - проще. Для этого можно представить, что есть одна полка на тридцать книг. Все они расставлены на этой плоскости, но так как условие требует, чтобы полок было две, то мы одну длинную пилим пополам, получается две по пятнадцать. Из этого получается что вариантов расстановки может быть P_30 = 30!.

Решение примера. Формула для числа сочетания

Сейчас будет рассмотрен вариант третьей задачи из комбинаторики. Необходимо узнать, сколько способов есть, чтобы расставить пятнадцать книг при условии, что выбирать необходимо из тридцати абсолютно одинаковых.

Для решения будет, конечно же, применена формула для числа сочетаний. Из условия становится понятным, что порядок одинаковых пятнадцати книг не важен. Поэтому изначально нужно выяснить общее число сочетаний из тридцати книг по пятнадцать.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Вот и все. Используя данную формулу, в кратчайшее время удалось решить такую задачу, ответ, соответственно, равен 155 117 520.

Решение примера. Классическое определение вероятности

С помощью формулы, указанной выше, можно найти ответ в несложной задаче. Но это поможет наглядно увидеть и проследить ход действий.

В задаче дано, что в урне есть десять абсолютно одинаковых шариков. Из них четыре желтых и шесть синих. Из урны берется один шарик. Необходимо узнать вероятность доставания синего.

Для решения задачи необходимо обозначить доставание синего шарика событием А. Данный опыт может иметь десять исходов, которые, в свою очередь, элементарные и равновозможные. В то же время из десяти шесть являются благоприятствующими событию А. Решаем по формуле:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Применив эту формулу, мы узнали, что возможность доставания синего шарика равна 0,6.

Решение примера. Вероятность суммы событий

Сейчас будет представлен вариант, который решается с использованием формулы вероятности суммы событий. Итак, в условии дано, что есть два ящика, в первом находится один серый и пять белых шариков, а во втором - восемь серых и четыре белых шара. В итоге из первого и второго короба взяли по одному из них. Необходимо узнать, каков шанс того, что доставаемые шарики будут серого и белого цвета.

Чтобы решить данную задачу, необходимо обозначить события.

• Итак, А - взяли серый шарик из первого ящика: P(A) = 1/6.
• А’ - взяли белый шарик также из первого ящика: P(A") = 5/6.
• В - извлекли серый шарик уже из второго короба: P(B) = 2/3.
• В’ - взяли серый шарик из второго ящика: P(B") = 1/3.

По условию задачи необходимо, чтобы случилось одно из явлений: АВ’ или же А’В. Используя формулу, получаем: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Сейчас была использована формула по умножению вероятности. Далее, чтобы узнать ответ, необходимо применить уравнение их сложения:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Вот так, используя формулу, можно решать подобные задачи.

Итог

В статье была представлена информация по теме "Теория вероятности", вероятность события в которой играет важнейшую роль. Конечно же, не все было учтено, но, исходя из представленного текста, можно теоретически ознакомиться с данным разделом математики. Рассматриваемая наука может пригодиться не только в профессиональном деле, но и в повседневной жизни. С ее помощью можно просчитать любую возможность какого-либо события.

В тексте были затронуты также знаменательные даты в истории становления теории вероятности как науки, и фамилии людей, чьи труды были в нее вложены. Вот так человеческое любопытство привело к тому, что люди научились просчитывать даже случайные события. Когда-то они просто заинтересовались этим, а сегодня об этом уже знают все. И никто не скажет, что ждет нас в будущем, какие еще гениальные открытия, связанные с рассматриваемой теорией, будут совершены. Но одно можно сказать точно - исследования на месте не стоят!

Случайные события и их вероятности

Событие – любое явление, в отношении которого имеет смысл говорить, наступило оно или не наступило в результате определенного комплекса условий или случайного эксперимента. Отсюда следует, что событие можно рассматривать, как величину, которая может принимать только два значения.

Можно выделить виды событий.

Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит при каждом осуществлении определенной совокупности условий. Например, если брошена игральная кость, то выпадение не менее одного и не более шести очков является достоверным событием.

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет ни при одном осуществлении данной совокупности условий. Например, если брошена игральная кость, то выпадение более шести очков является невозможным событием.

Событие называется случайным, если оно может произойти, а может и не произойти при осуществлении данной совокупности условий. Например, если брошена игральная кость, то выпадение любого из шести очков является случайным событием.

События называются несовместимыми, если их одновременное появление при осуществлении данной совокупности условий невозможно, т. е. появление события А в данном испытании исключает появление события В в этом же испытании. Например, если из урны с черными и белыми шарами случайным образом извлекается белый шар, то его появление исключает извлечение черного шара в той же попытке.

События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием. Например, если стрелок произвел выстрел, то обязательно происходит одно из двух событий – попадание или промах. Эти события единственно возможные.

Совокупность единственно возможных событий испытания называется полной группой событий.

События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие. Например, появление герба или решетки при бросании монеты есть события равновозможные.

Если – какое либо событие, то событие, состоящее в том, что событие не наступило, называется событием противоположным событию или отрицанием события и обозначается .

Суммой событий и называется такое событие, обозначаемое , которое происходит только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий или или оба вместе.

Произведением событий и называется такое событие, обозначаемое , которое происходит только тогда, когда происходят оба события и одновременно. Если и несовместимые события, то событие является невозможным.

События, происходящие при реализации определенного комплекса условий или в результате случайного эксперимента, называются элементарными исходами. Считается, что при проведении случайного эксперимента реализуется только один из возможных элементарных исходов. Множество всех элементарных исходов случайного эксперимента называется пространством элементарных исходов.

Те элементарные исходы, при которых наступает интересующее нас событие, называются исходами, благоприятствующимиэтому событию.

Вероятностьсобытия – это отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу всех возможных и равновозможных элементарных исходов эксперимента , где – число элементарных исходов, благоприятствующих событию ; – число всех возможных элементарных исходов эксперимента.

Можно определить следующие свойства вероятности:

– вероятность достоверного события равна 1;

– вероятность невозможного события равна 0;

– вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1: .

Математическое понятие вероятности случайного события является абстрактной характеристикой, присущей не самим интересующим нас объектам материального мира, а их теоретико-множественным моделям. Требуется некоторое дополнительное соглашение для того, чтобы можно было извлекать сведения о вероятностях из экспериментальных данных. В соответствии с классическим определением принято оценивать вероятность события относительной частотой благоприятных исходов опыта. Если проведено N независимых испытаний и в n из них наблюдалось событие , то эмпирическая (выборочная) оценка вероятности , которую можно получить из этой серии, равна: . При этом полагают, что , если число испытаний .

Основные теоремы теории вероятностей

1. Теорема сложения вероятностей . Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их одновременного наступления

Если и несовместимые события, то событие является невозможным. Следовательно, . Обобщая на несколько попарно несовместимых событий, можно записать .

Если события образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна единице: . Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: .

2. Теорема умножения вероятностей. Предположим, что из общего числа исходов испытания событию благоприятствуют элементарных исходов, событию благоприятствуют элементарных исходов, а одновременному наступлению событий и благоприятствуют элементарных исходов. Если событие наступило, то это означает, что осуществился один из благоприятствующих ему исходов, причем из этих исходов благоприятствовать событию будут и те исходов, при которых события и наступают одновременно. В связи с этим вводится понятие условной вероятности. Условной вероятностью называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие уже наступило. Независимыми событиями называются события, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого. Если событие независимо от события , то . События называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий независимо в паре с любым произведением остальных событий, содержащим как все остальные события, так и любую их часть. Независимость событий в совокупности влечет за собой попарную независимость этих событий. Для двух случайных зависимых событий вероятность произведения этих событий (т. е. одновременного появления в одном испытании) равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, рассчитанную при условии, что первое событие уже произошло: . Если событие независимо от события , то . Вероятность одновременного появления нескольких попарно независимых событий равна произведению их вероятностей: .

3. Теорема полной вероятности. Пусть имеется группа событий , обладающих следующими свойствами: а) все события попарно несовместимы; б) их объединение образует пространство элементарных исходов; в) они образуют полную группу событий. Такие события называют гипотезами, поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит. Пусть – некоторое событие, которое может произойти при наступлении одного и только одного из событий . Это означает, что . Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместимых событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события : . Приведенная формула называется формулой полной вероятности.

4. Формула Байеса. Пусть, как и в предыдущем случае имеем совокупность события и группы событий , обладающих теми же свойствами. Допустим, что событие произошло и требуется определить, как в связи с этим изменились вероятности гипотез, т. е. . Эта задача решается с помощью формулы Байеса . Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие , т. е. найти апостериорные вероятности. Используя понятие условной вероятности формулу Байеса можно интерпретировать как вероятность того, что причиной появления события является событие .

5. Формула Бернулли. Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться, либо не появиться. Будем считать, что вероятность события в каждом испытании одна и та же и равна . Следовательно, вероятность ненаступления события в каждом испытании также постоянна и равна . Вероятность того, что при этих условиях при n испытаниях событие произойдет ровно k раз и, следовательно, не произойдет раз определяется по формуле Бернулли , где . Формулу Бернулли называют также формулой биномиального распределения вероятностей, поскольку в правой ее части стоит -й член бинома Ньютона.

6. Локальная теорема Лапласа. При больших формулой Бернулли пользоваться затруднительно из-за громоздкости вычислений. Для этого случая доказана так называемая локальная теорема Лапласа, дающая асимптотическую формулу, которая позволяет приближенной найти вероятность появления события раз в испытаниях, если число испытаний достаточно велико , где и . Для функции составлены таблицы, соответствующие положительным значениям аргумента , поскольку . Формула Лапласа дает тем большую точность, чем больше .