В основе теории Максвелла лежат рас­смотренные четыре уравнения:

1. Электрическое поле мо­жет быть как потенциальным (e q), так и вихревым (Е B), поэтому напряженность суммарного поля Е =Е Q +Е B . Так как циркуляция вектора e q равна нулю, а циркуляция вектора Е B оп­ределяется выражением, то цир­куляция вектора напряженности суммар­ного поляЭто уравнение показывает, что источни­ками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняю­щиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н : Это уравнение показывает, что магнит­ные поля могут возбуждаться либо дви­жущимися зарядами, либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D : Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плот­ностью, то формула запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В: Итак,полная система уравнений Максвел­ла в интегральной форме: Величины, входящие в уравнения Мак­свелла, не являются независимыми и меж­ду ними существует следующая связь:D = 0 E , В=  0 Н, j =E , где  0 и  0 - соответственно электриче­ская и магнитная постоянные,  и  - соответственно диэлектрическая и магнит­ная проницаемости,  - удельная прово­димость вещества.

Для стационарных полей (Е= const и В =const) уравнения Максвелла при­мут вид т. е. источниками электрического поля в данном случае являются только электри­ческие заряды, источниками магнитно­го - только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электриче­ское и магнитное поля.

Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса можно представитьполную систему урав­нений Максвелла в дифференциальной форме :

Уравнения Максвелла - наиболее об­щие уравнения для электрических и маг­нитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в ме­ханике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда свя­зано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнит­ным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом - они образуют единое электромагнитное поле.

66. Дифференциальное уравнение электромагнитной волны. Плоские электромагнитные волны.

Для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создаю­щих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электро­магнитного поля удовлетворяют волново­му уравнению типа:

-оператор Лапласа.

Т.е. электро­магнитные поля могут су­ществовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением (1) v - фазовая ско­рость, где с= 1/ 0  0 ,  0 и  0 - соответственно электрическая и магнитная постоянные,  и  - соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.

В вакууме (при =1 и =1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как > 1, то скорость распространения электро­магнитных волн в веществе всегда мень­ше, чем в вакууме.

При вычислении скорости распростра­нения электромагнитного поля по формуле (1) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с эксперименталь­ными данными, если учитывать зависи­мость  и , от частоты. Совпадение же размерного коэффициента в со скоростью распространения света в вакуу­ме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явле­ниями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электро­магнитные волны.

Следствием теории Максвелла являет­ся поперечность электромагнитных волн: векторыЕ и Н напряженностей электриче­ского и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (рис. 227) и лежат в плос­кости, перпендикулярной вектору v скоро­сти распространения волны, причем векто­ры Е , Н и v образуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне век­торы Е и Н всегда колеблются в одина­ковых фазах (см. рис. 227), причем мгно­венные значения £ и Я в любой точке связаны соотношением  0 = 0 Н. (2)

Этим уравнениям удов­летворяют, в частности, плоскиемонохро­матические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями Е у =Е 0 cos(t-kx+), (3) H z = H 0 cos (t-kx+), (4), где е 0 и Н 0 - соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнит­ного полей волны,  - круговая частота волны, k=/v- волновое число, - начальные фазы колебаний в точках с ко­ординатой х= 0. В уравнениях (3) и (4)  одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой.

Уравнения Максвелла и волновое уравнение

Электромагнитные волны

В процессе распространения механической волны в упругой среде в колебательное движение вовлекаются частицы среды. Причиной этого процесса является наличие взаимодействия между молекулами.

Помимо упругих волн в природе существует волновой процесс иной природы. Речь идет об электромагнитных волнах, представляющих собой процесс распространения колебаний электромагнитного поля. По существу мы живем в мире ЭМВ. Их диапазон невероятно широк – это радиоволны, инфракрасное излучение, ультрафиолетовое, рентгеновское излучения, γ – лучи. Особое место в этом многообразии занимает видимая часть диапазона – свет. Именно с помощью этих волн мы получаем подавляющее количество информации об окружающем мире.

Что такое электромагнитная волна? Какова ее природа, механизм распространения, свойства? Существуют ли общие закономерности, характерные как для упругих, так и для электромагнитных волн?

Уравнения Максвелла и волновое уравнение

Электромагнитные волны интересны тем, что первоначально они были «открыты» Максвеллом на бумаге. Основываясь на предложенной им системе уравнений, Максвелл показал, что электрическое и магнитное поля могут существовать в отсутствие зарядов и токов, распространяясь в виде волны со скоростью 3∙10 8 м/с. Спустя почти 40 лет предсказанный Максвеллом материальный объект – ЭМВ – был обнаружен Герцем экспериментально.

Уравнения Максвелла являются постулатами электродинамики, сформулированными на основе анализа опытных фактов. Уравнения устанавливают связь между зарядами, токами и полями – электрическим и магнитным. Обратимся к двум уравнениям.

1. Циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру l пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, натянутую на контур (это закон электромагнитной индукции Фарадея):

(1)

Физический смысл этого уравнения – меняющееся магнитное поле порождает электрическое поле .

2. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру l пропорциональна скорости изменения потока вектора электрической индукции через поверхность, натянутую на контур:

Физический смысл этого уравнения – магнитное поле порождаетcя токами и меняющимся электрическим полем .

Даже без каких-либо математических преобразований этих уравнений понятно: если в какой-то точке меняется электрическое поле, то в соответствии с (2) возникает магнитное поле. Это магнитное поле, изменяясь, порождает в соответствие с (1) электрическое поле. Поля взаимно индуцируют друг друга, они уже не связаны с зарядами и токами!

Более того, процесс взаимного индуцирования полей будет распространяться в пространстве с конечной скоростью, то есть возникает электромагнитная волна. Для того, чтобы доказать факт существования в системе волнового процесса, в котором колеблется величина S, необходимо получить волновое уравнение

Рассмотрим однородный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ. Пусть в этой среде существуют магнитное поле . Для простоты будем полагать, что вектор напряженности магнитного поля располагается вдоль оси ОY и зависит только от координаты z и времени t: .

Записываем уравнения (1) и (2) с учетом связи между характеристиками полей в однородной изотропной среде: и :

Найдем поток вектора через прямоугольную площадку KLMN и циркуляцию вектора по прямоугольному контуру KLPQ (KL = dz, LP= KQ = b , LM = KN = a )

Очевидно, что поток вектора через площадку KLMN и циркуляция по контуру KLPQ отличны от нуля. Тогда циркуляция вектора по контуру KLMN и поток вектора через поверхность KLPQ тоже отличны от нуля. Такое возможно только при условии, что при изменении магнитного поля возникло электрическое поле , направленное вдоль оси ОX.

Вывод 1: При изменении магнитного поля возникает электрическое поле, напряженность которого перпендикулярна индукции магнитного поля .

С учетом сказанного система уравнений перепишется

После преобразований получаем:

Теперь стоило бы заняться немного математикой; мы запишем уравнения Максвелла в более простой форме. Вы, пожалуй, сочтете, что мы усложняем их, но если вы наберетесь терпения, то внезапно обнаружите их большую простоту. Хотя вы уже вполне привыкли к каждому из уравнений Максвелла, имеется все же много частей, которые стоит соединить воедино. Вот как раз этим мы и займемся.

Начнем с - простейшего из уравнений. Мы знаем, что оно подразумевает, что - есть ротор чего-то. Поэтому, если вы записали

то считайте, что уже решили одно из уравнений Максвелла. (Между прочим, заметьте, что оно остается верно для другого вектора , если , где - любое скалярное поле, потому что ротор - нуль и - по-прежнему то же самое. Мы говорили об этом раньше.)

Теперь разберем закон Фарадея , потому что он не содержит никаких токов или зарядов. Если мы запишем как и продифференцируем по , то сможем переписать закон Фарадея в форме

.

Поскольку мы можем дифференцировать сначала либо по времени, либо по координатам, то можно написать это уравнение также в виде

. (18.17)

Мы видим, что - это вектор, ротор которого равен нулю. Поэтому такой вектор есть градиент чего-то. Когда мы занимались электростатикой, у нас было , и мы тогда решили, что - само градиент чего-то. Пусть это градиент от (минус для технических удобств). То же самое сделаем и для ; мы полагаем

. (18.18)

Мы используем то же обозначение , так что в электростатическом случае, когда ничто не меняется со временем и исчезает, будет нашим старым . Итак, закон Фарадея можно представить в форме

. (18.19)

Мы уже решили два из уравнений Максвелла и нашли, что для описания электромагнитных полей и нужны четыре потенциальные функции: скалярный потенциал и векторный потенциал , который, разумеется, представляет три функции.

Итак, определяет часть , так же как и . Что же произойдет, когда мы заменим на ? В общем, должно было бы измениться, если не принять особых мер. Мы можем, однако, допустить, что изменяется так, чтобы не влиять на поля и (т. е. не меняя физики), если будем всегда изменять и вместе по правилам

. (18.20)

Тогда ни , ни , полученные из уравнения (18.19), не меняются.

Раньше мы выбирали , чтобы как-то упростить уравнения статики. Теперь мы не собираемся так поступать; мы хотим сделать другой выбор. Но подождите немного, прежде чем мы скажем, какой это выбор, потому что позднее станет ясно, почему вообще делается выбор.

Сейчас мы вернемся к двум оставшимся уравнениям Максвелла, которые свяжут потенциалы и источники и . Раз мы можем определить и из токов и зарядов, то можно всегда получить и из уравнений (18.16) и (18.19) и мы будем иметь другую форму уравнений Максвелла.

Начнем с подстановки уравнения (18.19) в ; получаем

;

это можно записать еще в виде

. (18.21)

Таково первое уравнение, связывающее и с источниками.

Наше последнее уравнение будет самым трудным. Мы начнем с того, что перепишем четвертое уравнение Максвелла:

,

а затем выразим и через потенциалы, используя уравнения (18.16) и (18.19):

.

Первый член можно переписать, используя алгебраическое тождество ; мы получаем

. (18.22)

Не очень-то оно простое!

К счастью, теперь мы можем использовать нашу свободу в произвольном выборе дивергенции . Сейчас мы собираемся сделать такой выбор, чтобы уравнения для и для разделились, но имели одну и ту же форму. Мы можем сделать это, выбирая

. (18.23)

Когда мы поступаем так, то второе и третье слагаемые в уравнении (18.22) погашаются, и оно становится много проще:

. (18.24)

И наше уравнение (18.21) для принимает такую же форму:

. (18.25)

Какие красивые уравнения! Они великолепны прежде всего потому, что хорошо разделились - с плотностью заряда стоит , а с током стоит . Далее, хотя левая сторона выглядит немного нелепо - лапласиан вместе с , когда мы раскроем ее, то обнаружим

. (18.26)

Это уравнение имеет приятную симметрию по , , , ; здесь нужно, конечно, потому, что время и координаты различаются; у них разные единицы.

Уравнения Максвелла привели нас к нового типа уравнению для потенциалов и , но с одной и той же математической формой для всех четырех функций , , и . Раз мы научились решать эти уравнения, то можем получить и из и . Мы приходим к другой форме электромагнитных законов, в точности эквивалентной уравнениям Максвелла; с ними во многих случаях обращаться гораздо проще. и

Группой дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, которым должен удовлетворять каждый из векторов поля отдельно, можно получить исключением остальных векторов. Для области поля, которая не содержит свободных зарядов и токов ($\overrightarrow{j}=0,\ \rho =0$) уравнения для векторов $\overrightarrow{B}$ и $\overrightarrow{E}$ имеют вид:

Уравнения (1) и (2) - это обычные уравнения волнового движения, которые обозначают, что световые волны распространяются в среде со скоростью ($v$) равной:

Примечание 1

Надо заметить, что понятие скорости электромагнитной волны имеет определенный смысл лишь в связи с волнами простого вида, например плоскими. Скорость $v$ не является скоростью распространения волны в случае произвольного решения уравнений (1) и (2), так как эти уравнения допускают решения в виде стоячих волн.

В любой волновой теории света элементарным процессом считают гармоническую волну в пространстве и времени. Если частота этой волны лежит в интервале $4\cdot {10}^{-14}\frac{1}{c}\le \nu \le 7,5\cdot {10}^{-14}\frac{1}{c}$, такая волна вызывает у человека физиологическое ощущение определенного цвета.

Для прозрачных веществ диэлектрическая проницаемость $\varepsilon $ обычно больше единицы, магнитная проницаемость среды $\mu $ почти равна единице, получается, в соответствии с уравнением (3) скорость $v$ меньше скорости света в вакууме. Что было впервые экспериментально показано для случая распространения света в воде учеными Фуко и Физо .

Обычно определяют не саму величину скорости ($v$), а отношение $\frac{v}{c}$, для чего пользуются законом преломления . В соответствии с данным законом при падении плоской электромагнитной волны на плоскую границу, которая разделяет две однородные среды, отношение синуса угла ${\theta }_1$ падения к синусу угла преломления ${\theta }_2$ (рис.1) постоянно и равно отношению скоростей распространения волн в двух средах ($v_1\ и{\ v}_2$):

Значение постоянного отношения выражения (4) обычно обозначают как $n_{12}$. Говорят, что $n_{12}$ -- относительный показатель преломления второго вещества по отношению к первому, который испытывает волновой фронт (волна) при прохождении из первой среды во вторую.

Рисунок 1.

Определение 1

Абсолютным показателем преломления (просто показателем преломления) среды $n$ называют показатель преломления вещества по отношению к вакууму:

Вещество, имеющее больший показатель преломления является оптически более плотным. Относительный показатель преломления двух веществ ($n_{12}$) связан с их абсолютными показателями ($n_1,n_2$) как:

Формула Максвелла

Определение 2

Максвелл получил, что показатель преломления среды зависит от ее диэлектрических и магнитных свойств. Если в формулу(5) подставить выражение для скорости распространения света из уравнения (3), то мы получим:

\ \

Выражение (7) называется формулой Максвелла . Для большинства немагнитных прозрачных веществ, которые рассматриваются в оптике магнитная проницаемость вещества приблизительно можно считать равной единице, поэтому часто равенство (7) применяют в виде:

Часто предполагается, что $\varepsilon $ является постоянной величиной. Однако нам хорошо известны опыты Ньютона с призмой по разложению света, в результате этих экспериментов становится очевидным, что показатель преломления зависит от частоты света. Следовательно, если считать, что формула Максвелла справедлива, то следует признать, что диэлектрическая проницаемость вещества зависит от частоты поля. Связь $\varepsilon $ с частотой поля можно объяснить только в том случае, если принять во внимание атомное строение вещества.

Однако надо сказать, что формула Максвелла с постоянной диэлектрической проницаемостью вещества, в некоторых случаях может быть использована как хорошее приближение. Примером могут служить газы с простой химической структурой, в которых нет существенной дисперсии света, что означает, слабую зависимость оптических свойств от цвета. Формула (8), также хорошо работает для жидких углеводородов. С другой стороны, у большинства твердых тел, например у стекол, и большой части жидкостей наблюдается сильное отклонение от формулы (8), если считать $\varepsilon $ постоянной.

Пример 1

Задание: Какова концентрация свободных электронов в ионосфере, если известно, что для радиоволн с частотой $\nu$ показатель ее преломления равен $n$.

Решение:

За основу решения задачи возьмем формулу Максвелла:

\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac{P}{{\varepsilon }_0E}\left(1.2\right),\]

где $\varkappa $ -- диэлектрическая восприимчивость, P - мгновенное значение поляризованности. Из (1.1) и (1.2) следует, что:

В том случае, если концентрация атомов в ионосфере равна $n_0,$ то мгновенное значение поляризованности равно:

Из выражений (1.3) и (1.4) имеем:

где $\omega $ -- циклическая частота. Уравнение вынужденных колебаний электрона без учета силы сопротивления можно записать как:

\[\ddot{x}+{{\omega }_0}^2x=\frac{q_eE_0}{m_e}cos\omega t\left(1.7\right),\]

где $m_e$ -- масса электрона, $q_e$ -- заряд электрона. Решением уравнения (1.7) служит выражение:

\ \

Нам известна частота радиоволн, следовательно, можно найти циклическую частоту:

\[\omega =2\pi \nu \left(1.10\right).\]

Подставим в (1.5) правую часть выражения (1.9) вместо $x_{max}$ и используем (1.10), получим:

Ответ: $n_0=\frac{E_0m_e4\pi ^2\nu ^2}{{q_e}^2}\left(1-n^2\right).$

Пример 2

Задание: Объясните, почему формула Максвелла противоречит некоторым экспериментальным данным.

Решение:

Из классической электромагнитной теории Максвелла следует, что показатель преломления среды можно выразить как:

где в оптической области спектра для большинства веществ можно считать, что $\mu \approx 1$. Получается, что показатель преломления для вещества должен быть постоянной величиной, так как $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды постоянна. Тогда как эксперимент показывает, что показатель преломления зависит от частоты. Трудности, которые возникли перед теорией Максвелла в данном вопросе, устраняет электронная теория Лоренца. Лоренц рассматривал дисперсию света как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами, которые входят в состав вещества и совершают вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны света. Используя свою гипотезу, Лоренц получил формулу, связывающую показатель преломления с частотой электромагнитной волны (см. пример 1).

Ответ: Проблема теории Максвелла в том, что она является макроскопической и не рассматривает структуру вещества.

Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения заряда. 3. Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отчета. 4. Уравнения Максвелла симметричны.

6.3.4. Электромагнитные волны

Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле способно существовать самостоятельно, без электрических зарядов и токов. Изменяющееся электромагнитное поле имеет волновой характер и распространяется в вакууме в виде электромагнитных волн со скоростью света.

Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла, которые описываются волновыми уравнениями для векторов исоответственно:

, (5.18)

, (5.19)

Изменение во времени магнитного поля возбуждает переменное электрическое поле и, наоборот, изменение во времени электрического поля возбуждает переменное магнитное поле. Вихревое электрическое поле, индуцированное переменным магнитным полем , образует с векторомлевовинтовую систему (рис. 7.2), а вихревое магнитное поле, индуцированное электрическим полем, образует с векторомправовинтовую систему (рис. 5.2).

Происходит непрерывное их взаимопревращение, что и дает возможность

существовать и распространяться им в пространстве и времени при отсутствии зарядов и токов.

Таким образом, теория Максвелла не только предсказала существование электромагнитных волн, но и установила их важнейшие свойства:

Скорость распространения электромагнитной волны в нейтральной непроводящей и неферромагнитной среде

(5.20)

где c  скорость света в вакууме.

Рис. 5.3 Рис. 5.4

3. В электромагнитной волне векторыивсегда колеблются в одинаковых фазах (рис. 5.4), причем между мгновенными значениями Е и В в любой точке пространства

существует связь, а именно: Е = vB или
. (5.21)

Существование электромагнитных волн позволило Максвеллу объяснить волновую природу света. Свет  это электромагнитные волны.

6.3.5. Поток энергии электромагнитного поля

При распространении электромагнитных волн в пространстве и времени они несут с собой энергию. Она заключена во взаимно превращающихся электрическом и магнитном полях.

Объемная плотность энергии электрического поля

, (5.22)

где Е  напряженность электрического поля.

Объемная плотность энергии магнитного поля

, (5.23)

где В  индукция магнитного поля.

Следовательно, объемная плотность энергии электромагнитного поля в той области пространства, где находится в произвольный момент времени электромагнитная волна,

W = w э + w м =
. (5.24)

Или с учетом того, что Е = сВ и
, имеем

w =  o E 2 , (5.25)

или
. (5.26)

Энергию, переносимую электромагнитной волной в единицу времени через единичную площадку, называют плотностью потока электромагнитной энергии. Вектор плотности потока электромагнитной энергии называют вектором Пойнтинга.

Направление вектора Пойнтинга совпадает с направлением распространения электромагнитной волны, т. е. с направлением переноса энергии. Скорость переноса энергии равна фазовой скорости этой волны.

Если электромагнитная волна при распространении проходит сквозь некотoрую площадку S, перпендикулярную к направлению распространения ее, например, вдоль оси Х, то за некоторый промежуток времени dt волна пройдет расстояние dx = cdt, где с  скорость распространения волны.

Так как объемная плотность энергии электромагнитной волны

то полная энергия dW электромагнитной волны, заключенная в объеме

dW = wdV =  o E 2 cdtS. (5.27)

Следовательно, плотность потока электромагнитной энергии, проходящей через площадку S за время dt

. (5.28)

Вектор Пойнтинга совпадает по направлению со скоростью распространения электромагнитной волны, которая перпендикулярна и , т. е.

. (5.29)